Question

Demonstrati ca |x-2|+|x-3|>=1, oricare x apartine R.

Answer 1

|x-2|+|x-3| ≥ 1

① x ≤ 2:

-(x-2)-(x-3) ≥ 1 ⇒ -x+2-x+3 ≥ 1 ⇒ -2x+5 ≥ 1 ⇒

⇒ -2x ≥ -4 ⇒ x ≤ 2 ⇒ x ∈ (-ထ, 2]

② 2 < x ≤ 3:

(x-2)-(x-3) ≥ 1 ⇒ x-2-x+3 ≥ 1 ⇒ 0·x+1 ≥ 1 ⇒

⇒ x ∈ (2, 3]

③ x > 3:

(x-2)+(x-3) ≥ 1 ⇒ 2x-5 ≥ 1 ⇒ 2x ⇒ 6 ⇒

⇒ x ≥ 3 ⇒ x ∈ [3, +ထ) ∩  (3, +ထ) ⇒

⇒ x ∈ (3, +ထ)

Din ① ∨ ② ∨ ③ ⇒ x ∈ (-ထ, 2] ∪ (2, 3] ∪ (3, +ထ) ⇒

⇒ x ∈ ℝ