Question

Demonstrati ca X3 + y3 + z3 >sau= 3xyz stiind ca x,y,x apartin intervalului (0,infinit)

Answer 1

3(x+y+z)≥3xyz
impartim in ambele parti cu 3 si avem:
x+y+z≥x·y·z
ceea ce este evident
in cazul in care x=y=z=0 atunci x+y+z=x·y·z
altfel este evident ca x+y+z>x·y·z   

Answer 2

Avem de demonstrat ca :
x³ +y³ +z³ ≥ 3xyz              x,y,z ∈ (0, ∞)
adica
x³ +y³ +z³ -3xyz ≥0            x,y,z ∈ (0, ∞)

Exista urmatoarea formula algebrica :
a³ +b³ +c³ - 3abc = (a+b+c)(a² + b² + c² -ab -bc - ca)

⇒ x³ +y³ +z³ - 3xyz = (x+y+z)(x² +y² +z² - xy - yz - xz)

Atunci avem de demonstrat ca :
(x+y+z)(x² +y² +z² -xy -yz - xz) ≥0    
     ↓
     >0
Cum x,y,z >0
⇒ (x+y+z) >0

ramane doar sa demonstram ca expresia din cea de-a doua paranteza este ≥0

x² +y² +z² -xy -yz - xz ≥ 0

adica
x² +y² +z² ≥ xy +yz +xz   
(se stie ca acest lucru este adevarat , oricare ar fi  x,y,z ∈ R dar mai jos putem si demonstra)

inmultim in ambele parti cu 2 si mutam totul in stanga :

⇒2x² +2y² +2z² -2xy -2yz -2xz ≥0
grupam convenabil termenii, astfel incat sa obtinem o suma de patrate perfecte:

x² -2xy +y² + y² -2yz +z² + x² - 2xz + z² ≥ 0
       ↓                ↓                    ↓
   (x - y)²    +     (y - z)²    +   (x -  z )²  ≥ 0     adevarat, pentru orice   x,y,z ∈ R

ceea ce, evident, este valabil si ptr x,y,z ∈ (0,∞) intrucat acest interval
este ⊂ in R