Question

Demonstrați folosind metoda inducției matematice

Answer 1

P(n):  1³+2³+...+n³ = (1+2+3+...+n)²

P(n+1):  1³+2³+...+n³+(n+1)³  = [1+2+3+...+n+(n+1)]²  ?

P(k):

1³+2³+...+k³ = (1+2+3+...+k)²   (ipoteza)

P(1):  1³ = 1²  (A)

P(2):  1³+2³ = (1+2)²  ⇔  1+8 = 9  (A)

P(k+1):

1³+2³+...+k³+(k+1)³ =

= (1³+2³+...+k³) + (k+1)³ =

Folosesc relația din ipoteză, pe care o presupunem adevărată.

= (1+2+...+k)² + (k+1)³ =

= (1+2+...+k)² + (k+1)²(k+1) =

= (1+2+...+k)² + k(k+1)² + (k+1)² =

= (1+2+...+k)² + (k+1)² + k(k+1)²

Aplic formula:  a²+b² = (a+b)² - 2ab

= [1+2+...+k+(k+1)]² - 2(1+2+...+k)(k+1) + k(k+1)² =

= [1+2+...+k+(k+1)]² - 2[k(k+1)/2]·(k+1) + k(k+1)² =

= [1+2+...+k+(k+1)]² - k(k+1)² + k(k+1)² =

= [1+2+...+k+(k+1)]²   q.e.d.