Question

Demonstrati inegalitatea
a^2+b^2+c^2+d^2 >=(a+b)(c+d)

Answer 1

$a^2+b^2+c^2+d^2\geq(a+b)(c+d)\\\\a^2+b^2+c^2+d^2\geq\ ac+ad+bc+bd\ \ /*2\\\\2a^2+2b^2+2c^2+2d^2\geq\ 2ac+2ad+2bc+2bd\geq0\\\\2a^2+2b^2+2c^2+2d^2-2ac-2ad-2bc-2bd\geq0\\\\(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2cd+d^2)+(d^2-2ad+a^2)\geq0\\\\(a-b)^2+(b-c)^2+(c-d)^2+(d-a)^2\geq0\\\\(a-b)^2\geq0\ (1)\\\\(b-c)^2\geq0\ (2)\\\\(c-d)^2\geq0\ (3)\\\\(d-a)^2\geq0\ (4)\\\\(1),(2),(3),(4)=>(a-b)^2+(b-c)^2+(c-d)^2+(d-a)^2\geq0\ Adevarat\\\\=>a^2+b^2+c^2+d^2\geq(a+b)(c+d)\ Adevarat$