Question

demonstrati inegalitatea : a²+b²$\geq$2 , a+b=2

Answer 1

Maria, cu semnul "*" notez inmultirea.
Banuiesc ca a si b sunt numere reale. Eu in aceasta ipoteza voi rezolva.
Cu notatia ">=" simbolizez "mai mare sau egal".

Deci inteleg ca stim din enunt relatia a + b = 2. De aici rezulta b = 2 - a.

Inlocuim aceasta expresie a lui b in membrul stang al inegalitatii ce trebuie demonstrata.
Avem: a*a + (2 - a)*(2 - a) = a*a + 4 - 4a + a*a = 2a*a - 4a + 4.

Asadar trebuie sa demonstram ca 2a*a - 4a + 4 >= 2

Impartind cu 2 aceasta relatie, avem: a*a - 2a + 2 >= 1, sau, trecand totul in membrul stang, va trebui sa aratam ca a*a - 2a + 2 - 1 >= 0

Adica: va trebui sa aratam ca a*a - 2a + 1 >= 0

Insa ultima relatie este evident adevarata, deoarece membrul stang este un patrat perfect, mai exact a*a - 2a + 1 = (a - 1)*(a - 1), iar un patrat perfect este mai mare sau egal cu 0.

Cazul cand membrul stang este 0 apare in situatia a = 1. In acest caz avem 0 >= 0, relatie adevarata.

Deci inegalitatea este demonstrata.