Question

Demonstrati inegalitatea (ax+by)^2<=(a^2+b^2)(x^2+y^2)

Answer 1

[tex] (ax+by)^{2}= a^{2} b^{2} +2abxy+ b^{2} y^{2} [/tex
 
$(a^{2} + b^{2} )( x^{2} + y^{2} )= a^{2} x^{2}+ a^{2} y^{2}+ b^{2} x^{2}+ b^{2} y^{2}$
Presupunem ca: $a^{2} b^{2} +2abxy+ b^{2} y^{2}$≤$a^{2} x^{2}+ a^{2} y^{2}+ b^{2} x^{2}+ b^{2} y^{2}$ [/tex] reducem termenii asemenea din cei doi membri si obtinem relatia echivalenta:
 2abxy≤ $a^{2} y^{2} + b^{2} x^{2}$ Trecem tot in membrul drept, restrangem patratul perfect si noua relatie e echivalenta cu precedenta :
0≤($( ay-bx)^{2}$, relatie adevarata un patrat e ≥0, deci presupunerea este adevarata.