Question

Demonstrați inegalitatea​ de la supunctul c

Answer 1

$f(x)=e^{x} +xln(x)-1\\e^{x}\;este \;functie\;crescatoare\\x\;este\;functie\;crescatoare\\lnx\;este\;functie\;crescatoare\\\\= > xlnx\;este\;functie\;crescatoare$

Deci suma lor este o functie crescatoare, scazand 1 functia ramane crescatoare pe domeniul de definitie

$f\;crescatoare\;pe\;[\frac{1}{2}; +inf)\\f(x)\geq f(\frac{1}{2} )\\e^{x}+xlnx-1 \geq e^{\frac{1}{2} } +\frac{1}{2}ln(\frac{1}{2} )-1\\ e^{x}+xlnx\geq\sqrt{e} +\frac{1}{2}ln(\frac{1}{2} )$