Question

Demonstrati inegalitatile:
a)(1+1/a)(1+1/b)(1+1/c)≥64,(∀) a,b,c∈(0;+infinit) astfel incat a+b+c=1
b)(a²+bc)(b²+ac)(c²+ab)≤8/27,(∀)a,b,c∈(0;+infinit) astfel incat a²+b²+c²=1;
c)(a+b)/(1+a+b)

Answer 1

a) Inegalitatea se mai scrie
$(a+1)(b+1)(c+1)\ge 64abc$,sau, după calcule,
$2+ab+bc+ca\ge63abc.$

Să observăm că pentru orice numere pozitive a,b,c, avem
$a+b+c\ge\sqrt[3]{abc},\,\,ab+bc+ca\ge \sqrt[3]{a^2b^2c^2}, \\{\text {deci}}\\ (a+b+c)(ab+bc+ca)\ge 9abc.$
În cazul nostru, deducem că
$ab+bc+ca\ge 9abc \Longrightarrow 2+ab+bc+ca\ge2+9abc.$

Rămâne să aratăm că
$2+9abc\ge63abc \Longleftrightarrow 1\ge27abc,$
ceea ce rezultă imediat din inegalitatea mediilor:
$1=a+b+c\ge 3\sqrt[3]{abc}.$