Question

demonstrati prin inductie matematica :7^(2n)-4^(2n) divizibil cu 33

Answer 1

Răspuns

Explicație pas cu pas:

n=1: 7^2 - 4^2 = 49 - 16 = 33 divizibil prin 33

PP adev 7^(2n)-4^(2n) divizibil cu 33

Notez a=7^(2n) si b=4^(2n) pentru a simplifica scrierea

si avem astfel

a-b divizibil cu 33, ipoteza de inductie, presupusa adevarata.

VD pt n+1 ca este adevarat si acolo:

7^(2(n+1)) - 4^(2(n+1)) = 7^(2n+2) - 4^(2n+2) =

7^2n * 7^2  -  4^2n * 4^2 = 49a -16b =

16a-16b+33a = (l-am "spart" pe 49a in 16a+33a)

16(a-b) + 33a =(ip. ind.)

M33 + 33a = suma de doi termeni divizibili cu 33, deci si suma divizibila cu 33.

Qvot Erat Demonstrandum.

Answer 2

$\it P(n):\ (7^{2n}-4^{2n})\ \vdots\ 33,\ \forall\ n\in\mathbb{N}^*\\ \\ P(1):\ (7^2-4^2)\ \vdots\ 33 \Rightarrow (49-16)\ \vdots\ 33 \Rightarrow 33\ \vdots\ 33\ (A)$

Presupunem P(k) adevărată și arătăm că P(k+1) adevărată.

$\it P(k):\ (7^k-4^k)\ \vdots\ 33\ \ \ (*)\\ \\ P(k+1):\ (7^{2(k+1)}-4^{2(k+1)})\ \vdots\ 33\\ \\ 7^{2(k+1)}-4^{2(k+1)}= 7^{2k+2}-4^{2k+2}=7^{2k}\cdot7^2-4^{2k}\cdot4^2=7^{2k}\cdot49-4^{2k}\cdot16=\\ \\ =7^{2k}(33+16)-4^{2k}\cdot16=7^{2k}\cdot33+7^{2k}\cdot16-4^{2k}\cdot16=$

$\it = 7^{2k}\cdot33+16(7^{2k}-4^{2k})\\ \\ 7^{2k}\cdot33\in M_{33},\ \ 16(7^{2k}-4^{2k})\in M_{33}\ (din\ (*))\\ \\ Deci\ 7^{2k}\cdot33+16(7^{2k}-4^{2k})\in M_{33} \Rightarrow P(k+1)\ este\ adev\breve{a}rat\breve{a}\\ \\ \\ Prin\ urmare,\ P(n):\ (7^{2n}-4^{2n})\ \vdots\ 33\ este\ adev\breve{a}rat\breve{a},\ \forall n\in\mathbb{N}^*$

[q. e. d.] (quod  erat  demonstrandum)