Question

Demonstrati prin inductie matematica ca n³ ≥ 3n²-2n, n≥1,n∈N

Answer 1

Inductia matematica presupune trei pasi:
1) Testeaza relatia pentru primul caz. Din moment ce $1^{3}\geq{3*1^{2}-2*1}$ este adevarata, trecem la urmatorul pas
2) Presupune ca relatia este corecta pentru un numar aleatoriu k din sirul de numere testat. Aici, fiind numere naturale, luam k apartineN si consideram:
$k^{3}\geq{3*k^{2}-2*k}$ ca fiind corecta

3) Pentru urmatorul termen din numerele testate, demonstreaza ca este corecta relatia,
Aici fiind numere naturale, urmatorul numar este k+1. Atunci avem relatiile

$(k+1)^{3}\geq{3*(k+1)^{2}-2*(k+1)}$ care devine
$k^{3}+3*k^{2}+3*k+1\geq{3*k^{2}+6*k+3-2*k-2}$
$k^{3}\geq{k}$

Dar noi deja stim ca $k^{3}\geq{3*k^{2}-2*k}$, deci este suficient sa demonstram ca:
$3*k^{2}-2*k\geq{k}$ ceea ce da
$k^{2}\geq{k}$ impartim prin k(stim ca k este mai mare ca 0)
$k\geq{1}$ care este fix conditia de la care am plecat, deci relatia este corecta