Question

Demonstrează ca nr 2n+1 și 3n+1 sunt prime între ele,oricare ar fi nr Nat N

Answer 1

Demonstrația se face prin reducere la absurd: pentru a demonstra concluzia presupunem contrariul ei ca fiind adevărat și ajungem la o contradicție, de unde rezultă că presupunerea a fost greșită, deci concluzia cerută este adevărată.

Presupunem că 2n+1 și 3n+1 nu sunt prime între ele, adică există d un divizor comun diferit de 1.

$\displaystyle pp. \ \exists\ d\in \mathbb{N} ,\ d\neq 1,\ a.i.\ (2n+1; 3n+1) = d$

⇒  d | (2n+1)  și  d | (3n+1)

⇒  d | 3·(2n+1)  și  d | 2·(3n+1)

⇔  d | (6n+3)  și  d | (6n+2)

știm că: dacă x | a și x | b, atunci x | a-b

⇒  d | (6n+3)-(6n+2)

(6n + 3) - (6n + 2) = 3 - 2 = 1

⇒  d | 1

⇒  d = 1, ceea ce contravine ipotezei d ≠ 1

⇒ presupunerea noastră a fost greșită: nu există un divizor comun d≠1

⇔ numerele 2n+1 și 3n+1  sunt prime între ele, ∀n ∈ N.