Question

demonstreaza ca suma distantelor de la orice punct din interiorul unui triunghi echilateral la laturile triunghiului sste constantă ​

Answer 1

Desenăm triunghiul echilateral ABC.

Fixăm punctul P în interiorul triunghiului.

Unim P cu A, B, C.

Se formează triunghiurile PAB,  PBC,  PAC.

Din P ducem înălțimile în fiecare dintre cele trei triunghiuri,

care au vârful P comun.

Aceste înălțimi reprezintă respectiv distanțele de la P la AB, BC, AC.

$\it \mathcal{A}_{PAB}+ \mathcal{A}_{PBC}+ \mathcal{A}_{PAC}=\mathcal{A}_{ABC} \Rightarrow\\ \\ \\ \Rightarrow \dfrac{AB\cdot d(P,\ AB)}{2} +\dfrac{BC\cdot d(P,\ BC)}{2}+\dfrac{AC\cdot d(P,\ AC)}{2}=\mathcal{A}_{ABC} \Rightarrow \\ \\ \\ \Rightarrow \dfrac{\ell\cdot d(P,\ AB)}{2}+\dfrac{\ell\cdot d(P,\ BC)}{2}+\dfrac{\ell\cdot d(P,\ AC)}{2}=\dfrac{\ell^2\sqrt3}{4} \Rightarrow \\ \\ \\ \Rightarrow \dfrac{\ell}{2}\Big(d(P,\ AB)+d(P,\ BC)+d(P,\ AC)\Big)=\dfrac{\ell^2\sqrt3}{4} \Rightarrow$

$\it d(P,\ AB)+d(P,\ BC)+d(P,\ AC)=\dfrac{\ell\cdot \ell\sqrt3}{2\cdot2}\cdot\dfrac{2}{\ell}=\dfrac{\ell\sqrt3}{2}$

Observație:

$\it \dfrac{\ell\sqrt3}{2}=h\ \ \^{i}n\breve al\c{\it t}imea\ triunghiului\ echilateral$.