Question

Descoperiți care va fi ultima cifra a unui număr natural, ridicat la orice putere nenulă știind că numărul dat se termină cu una dintre cifrele 0,1,5 sau 6. Studiați și cazurile în care numărul dat se termina cu una dintre cifrele 2,3,4,7,8 sau 9. Ce observați?

Answer 1

Luam un numar x:
si n $\in$ |N

Cazul in care x are ultima cifra 0:
=> U(x)=U(0)=0
$U(x^{1})=U(0^{1})=0$
$U(x^{2})=U(0^{2})=0$
$U(x^{3})=U(0^{3})=0$
.............................................
$U(x^{n})=0$


Cazul in care x are ultima cifra 1:
=> U(x)=U(1)=1
$U(x^{1})=U(1^{1})=1$
$U(x^{2})=U(1^{2})=1$
$U(x^{3})=U(1^{3})=1$
.............................................
$U(x^{n})=1$



Cazul in care x are ultima cifra 5:

=> U(x)=U(5)=5
$U(x^{1})=U(5^{1})=5$
$U(x^{2})=U(5^{2})=5$
$U(x^{3})=U(5^{3})=5$
.............................................
$U(x^{n})=5$


Cazul in care ultima cifra a lui x este 6:

=> U(x)=U(6)=6
$U(x^{1})=U(6^{1})=6$
$U(x^{2})=U(6^{2})=6$
$U(x^{3})=U(6^{3})=6$
.............................................
$U(x^{n})=6$

Observam ca ultima cifra a unui număr natural, ridicat la orice putere nenulă știind că numărul dat se termină cu una dintre cifrele 0,1,5 sau 6 este aceeasi cu ultima cifra a numarului.



Studiam celelalte cazuri:


Ultima cifra a lui x este 2:

=> U(x)=U(2)=2
$U(x^{1})=U(2^{1})=2$
$U(x^{2})=U(2^{2})=4$
$U(x^{3})=U(2^{3})=8$
$U(x^{4})=U(2^{4})=6$
.............................................
$U(x^{n}) \in$ { $2;4;8;6$ }


Ultima cifra a lui x este 3:

=> U(x)=U(3)=3
$U(x^{1})=U(3^{1})=3$
$U(x^{2})=U(3^{2})=9$
$U(x^{3})=U(3^{3})=7$
$U(x^{4})=U(3^{4})=1$
.............................................
$U(x^{n}) \in$ { $3;9;7;1$ }


Ultima cifra a lui x este 4:

=> U(x)=U(4)=4
$U(x^{1})=U(4^{1})=4$
$U(x^{2})=U(4^{2})=6$
$U(x^{3})=U(4^{3})=4$
.............................................
$U(x^{n}) \in$ { $4;6$ }


Ultima cifra a lui x este 7:

=> U(x)=U(7)=7
$U(x^{1})=U(7^{1})=7$
$U(x^{2})=U(7^{2})=9$
$U(x^{3})=U(7^{3})=3$
$U(x^{4})=U(7^{4})=1$
.............................................
$U(x^{n}) \in$ { $7;9;3;1$}


Ultima cifra a lui x este 8:

=> U(x)=U(8)=8
$U(x^{1})=U(8^{1})=8$
$U(x^{2})=U(8^{2})=4$
$U(x^{3})=U(8^{3})=2$
$U(x^{4})=U(8^{4})=6$
.............................................
$U(x^{n}) \in$ { $8;4;2;6$}



Ultima cifra a lui x este 9:

=> U(x)=U(9)=9
$U(x^{1})=U(9^{1})=9$
$U(x^{2})=U(9^{2})=1$
$U(x^{3})=U(9^{3})=9$
.............................................
$U(x^{n}) \in$ { $9;1$}


Observam ca in acest caz, ultima cifra a unui numar ridicat la o putere n, difera de la caz la caz

Answer 2

Observi ca la numerele 0,1,2, si 6 puterile sunt egale cu acele numere.

Văd ca nu mai am spațiu pt a 3a poza,deci o sa scriu aici:
U(8^n) € {8,4,2,6}
U(8^1)=8
U(8^2)=4
U(8^3)=2
U(8^4)=6
U(8^5)=8
=> puterile lui 8 se repeta din 4 in 4

U(9^n) €
U(9^1)=9
U(9^2)=1
U(9^3)=9
=> puterile lui 9 se repeta din 2 in 2