Question

Desenati cubul ABCDA'B'C'D'. Determinati:

a) m (A'C', BC)
b) m (BC', AC)
c) m (D'C, BO) unde O este mijlocul segmentului [A'C']

Daca se poate sa imi spuneti si cum ati ajuns la masura unghiului respectiv, pentru a sti pentru viitor. Multumesc!

Answer 1

a) ∡(A'C';BC) este unghiul a doua drepte necoplanare iar A'C'║AC⇒    m∡(A'C';BC)=m∡(AC;BC)=m∡(ACB)=45°( deoarece ∡(ACB) este format de diagonala (AC) a patratului ABCD si latura BC a patratului ).  
b) ∡(BC';AC) este unghiul a doua drepte necoplanare iar AC║A'C'⇒    m∡(BC';AC)=m∡(BC';A'C')=m∡(A'C'B)=60°(deoarece ΔA'C'B este echilateral avand laturile de lungime l√2; unde l=lungimea laturii cubului).  
c) ∡(D'C;BO) este unghiul a doua drepte necoplanare iar D'C║A'B⇒   
m∡(D'C;BO)=m∡(A'B;BO)=m∡(A'BO) relatia(1); Deoarece ΔA'C'B este echilateral (vezi b)) iar BO este mediana; deci este si inaltime ⇒   BO⊥A'C'⇒BO⊥A'O⇒ΔBA'O este dreptunghic in O avand cateta   A'O=A'C'/2=l√2/2 iar ipotenuza A'B=l√2 (adica dublul lungimii cateteiA'O)  deci ΔBA'Oeste de tipul (30°-60°-90°); deci cateta A'O avand lungimea jumatate din lungimea ipotenuzei se opune unghiului ∡(A'BO) de 30°⇒  
m∡(A'BO)=30°relatia (2) . Din (1) si (2) ⇒ m∡(D'C;BO)=30°.