Question

Det. functia f(x) = ax^2+bx+c stiind ca punctul A(-1,6) este pe grafic si f are un minim egal cu 2 pentru x=1

Answer 1

f(x) = ax^2+bx+c stiind ca punctul A(-1,6) este pe grafic si f are un minim egal cu 2 pentru x=1

f(-1)=6 ; f(1)=2; -b/(2a)=1 (=> b=-2a)   si –Δ/(4a)=2

=>

a-b+c=6

a+b+c=2   => 2b=-4; b= -2

stim ca b=-2a  => a=1

1+2+c=6 => c=3

f(x)=x²-2x+3

Answer 2

Răspuns:

f(x)=x²-2x+3

Explicație pas cu pas:

Daca f are un minim, atunci a (coeficientul lui x²) este pozitiv.

Valoarea minima este data de formula:

minim=-Δ/4a

Calculam Δ corespunzator:

Δ=b²-4ac

Deci, minim=(4ac-b²)/4a. Dar, cum minimul este 2, atunci avem:

(4ac-b²)/4a=2

4ac-b²=8a (relatia 1)

Stim ca minimul se realizeaza pentru x avand valoarea 1. Acest x este dat de formula:

x_minim=-b/2a=-b/2a

Dar, cum x_minim este 1, avem:

-b/2a=1

-b=2a

b=-2a (relatia 2)

Mai stim ca punctul A(-1,6) apartine graficului functiei. Deci, avem si ca:

f(-1)=6

Calculam f(-1).

f(-1)=a*(-1)²+b*(-1)+c=a-b+c

Dar, cum f(-1)=6, atunci:

a-b+c=6 (relatia 3)

Formam un sistem din cele 3 relatii pe care ne propunem sa il rezolvam. Rezolvarea acestuia ne va da solutia exercitiului.

{4ac-b²=8a

{b=-2a

{a-b+c=6

Il scoatem pe c din ultima relatie si avem:

c=6-a+b

Dar, stim si ca b=-2a, si atunci c devine:

c=6-a-2a=6-3a

Introducem aceste necunoscute in prima relatie si avem:

4*a*(6-3a)-(-2a)²=8a

Rezolvam ecuatia:

24a-12a²-4a²-8a=0

-16a²+16a=0

16a²-16a=0

a²-a=0

a(a-1)=0

a=0 (dar cazul nu convine pentru ca existenta unei functii de grad doi impune a≠0)

a-1=0 => a=1

Cautam valorile b si c corespunzatoare:

b=-2a=-2*1=-2

c=6-3a=6-3*1=6-3=3

Atunci f(x) devine:

f(x)=x²-2x+3