Question

Determ. multimea valorilor functiilor :
1. f: ( -∞ ,-1] -->R,
$f(x)=\sqrt{1-x}$

2.f: [ 0 ,1] -->R,
$f(x)= \frac{x+1}{x+2}$

3.f: [-1,1] -->R
$f(X)=3^{x} +1$

Va rog mult, macar una dintre ele

Answer 1

Salut,

1). La prima funcție, avem un radical de ordin par, deci expresia de sub radical trebuie să fie pozitivă:

1 -- x ≥ 0, deci x ≤ +1 ⇔ x ∈ (--∞, +1] (1).

Dar funcția este definită pe intervalul (--∞, --1] care este inclus în intervalul (1) de mai sus, deci nu avem conflicte (adică nu avem nicio valoare din intervalul (1) pentru care expresia de sub radical să ia valori negative, ceea ce este super).

x ≤ -- 1, deci --x ≥ +1 ⇔ 1 -- x ≥ +2 ⇒ $\sqrt{1-x}\geqslant\sqrt2.$

Funcția este descrescătoare, la --∞ funcția din enunț ia valoarea +∞, deci valorile scad de la +∞ la $\sqrt2$.

Mulțimea valorilor funcției este deci $[\sqrt2,\ +\infty).$

2). Numitorul fracției nu trebuie să ia valoarea --2, nu avem așa ceva în domeniul de definiție a funcției, deci suntem OK.

Funcția din enunț se mai poate scrie:

$f(x)=1-\dfrac{1}{x+2}$

Plecăm de la 0 ≤ x ≤ 1 și vrem să ajungem la funcția din enunț, o construim pas cu pas:

Din 0 ≤ x ≤ 1 ⇒ 2 ≤ x + 2 ≤ 3 | · (--1) ⇔ --3 ≤ --(x + 2) ≤ --2

$-\dfrac{1}2\leqslant-\dfrac{1}{x+2}\leqslant-\dfrac{1}3$.

Adunăm 1 la dubla inegalitate de mai sus și avem că:

$1-\dfrac{1}2\leqslant 1-\dfrac{1}{x+2}\leqslant 1-\dfrac{1}3\Leftrightarrow \dfrac{1}2\leqslant 1-\dfrac{1}{x+2}\leqslant\dfrac{2}3$

Asta înseamnă că mulțimea valorilor funcției este intervalul:

$\left[\dfrac{1}2,\ \dfrac{2}3\right].$

3). Funcția 3ˣ este strict crescătoare, iar 1 este o funcție constantă, suma celor 2 funcții este o funcție strict crescătoare.

Deci f(x) este o funcție strict crescătoare, adică valorile ei cresc de la:

f(--1) = 1/3 + 1 = 4/3 la

f(1) = 4

Asta înseamnă că mulțimea valorilor funcției este intervalul:

$\left[\dfrac{4}3,\ 4\right].$

Ai înțeles rezolvarea ?

Green eyes.