Question

determina a, b, c, daca abc+bc+c=549

Answer 1

a, b, c - sunt cifre

a, b, c ∈ {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

a, b ≠ 0

abc + bc + c = 549

descompunem in baza zece si vom avea

100a + 10b + c + 10b + c + c = 549

100a + 20b + 3c  =  549

↓         ↓         ↓          ↓

par    par   impar   impar

!!! Observam ca produsul dintre 100 si a va fi un numar par, produsul dintre 20 si b va fi un numar par, astfel ca suma noastra sa fie IMPARA rezulta ca c este o cifra impara c ∈ {1,3,5,7,9}.

Ne gandim ce valoare maxima poate avea a. Daca a = 6 => 600 + 20b +3c = 549 ceeea ce nu convine ⇒ a ∈ {5,4,3,2,1}

Amalizam pe cazuri in functie de ce valoare poate lua a

• Cazul 1  daca a = 5

500 + 20b + 3c = 549

20b + 3c = 549 - 500

20b + 3c = 49

Ne gandim ce numar inmultit cu 3 da cifra 9 ⇒ c = 3

20b + 3· 3 = 49

20b = 49 - 9

20b = 40 |:20 (impartim toata relatia cu 20)

b = 2

Verificare:

523 + 23 + 3 =  549 (adevarat)

Solutia 1:  a = 5, b = 2, c = 3

• Cazul 2  daca a = 4

400 + 20b + 3c = 549

20b + 3c = 549 - 400

20b + 3c = 149 ⇒ c = 3

20b + 3· 3 = 149

20b = 149 - 9

20b = 140 |:20 (impartim toata relatia cu 20)

b = 7

Verificare:

473 + 73 + 3 =  549 (adevarat)

Solutia 2:  a = 4, b = 7, c = 3    

• Cazul 3  daca a = 3

300 + 20b + 3c = 549

20b + 3c = 549 - 300

20b + 3c = 249 ⇒ c = 3

20b + 3·3 = 249

20b = 249 - 9

20b = 240 |:20 (impartim toata relatia cu 20)

b = 12 NU CONVINE deoarece b este cifra si valoarea sa maxima este 9

Din cele de mai sus rezulta ca avem doua solutii care respecta conditiile problemei:

a = 4, b = 7, c = 3    si   a = 5, b = 2, c = 3