Question

Determina nr naturale n cu proprietatea ca 3n-2 si 5n+6 sunt patratele a doua nr pare consecutive.Va rog să mă ajutaţi

Answer 1

Salut,

Avem din enunț că:

3n - 2 = k² (1)

5n + 6 = (k + 2)², sau 5n + 6 = k² + 4k + 4, adică 5n + 2 = k² + 4k (2).

Înlocuim relația (1) în relația (2):

5n + 2 = 3n - 2 + 4k, sau 2n + 4 = 4k, deci k = (n + 2) / 2 (3).

Înlocuim relația (3) în relația (1):

3n - 2 = (n + 2)² / 4, sau 12n - 8 = n² + 4n + 4, sau n² - 8n + 12 = 0

Δ = (-8)² - 4·1·12 = 64 - 48 = 16, deci √Δ = 4

n₁ = (8 - 4) / 2 = 2 și n₂ = (8 + 4) / 2, deci n₂ = 6.

Verificare pentru n₁: 3n₁ - 2 = 3·2 - 2 = 4 = 2², care este pătrat perfect și 5n₁ + 6 = 5·2 + 6 = 16 = 4², care tot pătrat perfect este, iar 2 și 4 sunt numere pare consecutive.

Verificare pentru n₂: 3n₂ - 2 = 3·6 - 2 = 16 = 4², care este pătrat perfect și 5n₂ + 6 = 5·6 + 6 = 36 = 6², care tot pătrat perfect este, iar 4 și 6 sunt numere pare consecutive.

Deci ambele soluții găsite sunt corecte.

Green eyes.