Question

Determina numarul natural x,astfel incat fractia   $\dfrac{3x+1}{1+4+7+\ldots+199}$  sa fie echiunitara

Answer 1

Salut,

Fie S suma de la numitor:

S = 1 + 4 + 7 + ... + 199 = (1 + 3·0) + (1 + 3·1) + (1 + 3·2) + (1 + 3·3) + ... + (1 + 3·66).

Dacă observăm numerele care în fiecare paranteză îl înmulțesc pe 3, avem așa 0, 1, 2, 3, ... 66, deci suma S are 67 de termeni (l-am numărat și pe 0). Deci acel 1 din fiecare paranteză apare de 67 de ori.

S = 67 + 3·(1 + 2 + 3 + ... 66) = 67 + 3·66·67/2 = 67 + 3·33·67 = 6700

M-am folosit de formula lui Gauss, adică 1 + 2 + ... + n = n·(n + 1)/2.

Fracția este echiunitară, dacă numărătorul este egal cu numitorul, adică:

3x + 1 = 6700, sau 3x = 6699, deci x = 2233.

A fost greu ?

Green eyes.