Question

Determina toate perechile de numere naturale cu proprietatea a>b si [a,b] -(a,b)=26​

Answer 1

Răspuns:

(27 , 1)

(14, 4)

(28, 2)

(39, 13)

(52, 26)

Explicație pas cu pas:

Prin definitie, (a; b) = cmmdc si [a; b] = cmmmc

Notam x = (a ; b)

Fie acum numerele naturale y si z,  astfel incat a = x*y  si b = x*z, cu (y ; z) = 1 (adica y si z sunt prime intre ele) , si y > z (pentru ca a>b)

Avem ca  [a ; b] = a*b/(a; b) = x*y*x*z/x = x*y*z

Asadar

x*y*z - x = 26

x*(y*z - 1) = 26, ceea ce inseamna ca x este divizor al lui 26, adica apartine multimii {1, 2, 13, 26}

a)

x = 1

1*(y*z - 1) = 26

y*z - 1 = 26

y*z = 27.

27 = 1*27  sau 27 = 3*9. Cum y si z sunt prime intre ele, 3 si 9 nu este solutie buna, asadar y = 27 si z = 1 (y > z), deci a = 1*27 = 27  si  b = 1*1 =1

b)

x = 2

2*(y*z - 1) = 26

y*z - 1 = 13

y*z = 14.

14 = 1*14  sau 14 = 2*7, asadar y = 14 si z = 1, sau y = 7 si z = 2

deci a = 2*14 = 28  si  b = 2*1 = 2  sau  a = 2*7 = 14  si  b = 2*2 = 4

c)

x = 13

13*(y*z - 1) = 26

y*z - 1 = 2

y*z = 3.

3 = 1*3 asadar y = 3 si z = 1, deci a = 13*3 = 39  si  b = 13*1 = 13

d)

x = 26

26*(y*z - 1) = 26

y*z - 1 = 1

y*z = 2

2 = 1*2 asadar y = 2 si z = 1, deci a = 26*2 = 52  si  b = 26*1 = 26