Question

Determinati a,b € R , daca functia f:R-> R ,f(x)= ax+b este inversabila si are inversa f^-1= f

Answer 1

funcția inversa, daca exista, este acea funcție bijectivă care duce elementele codomeniului in domeniu.Aici e vorba de o funcție de grad 1 despre care știm că admite inversă
f(x)=y va fi echivalent cu f^-1(y)=x

ax+b=y
x=(y-b)/a
am găsit legătură inversa intre x și y
f^-1(y)=(y-b)/a=x
sau folosind variabilă x
f^-1(x)=(x-b)/a
condiția din enunț f=f^-1
ax+b=(x-b)/a
a^2*x+ab=x-b
cele două expresii sunt egale pentru oricare x doar daca
a^2=1
ab= -b. (a+1)b=0
I.
a=-1 care verifică și pe prima, iar b poate fi orice Nr real
II.
b=0 si a=-1 sau a=1
deci avem doua forme ale functiei

Answer 2

$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},\quad f(x) = ax+b \\\\\\ f^{-1}(x) = f(x)\\ \\\Rightarrow \begin{cases} x = ay+b \\ y = ax+b \end{cases}\Bigg|\Rightarrow y = a(ay+b)+b \Rightarrow\\ \\\\ \Rightarrow y=a^2y+ab+b \\ \\ \Rightarrow \begin{cases}a^2 = 1 \\ ab+b = 0 \end{cases}\Rightarrow\begin{cases}a = \pm 1 \\ b(a+1)= 0 \end{cases}\Bigg| \Rightarrow$

$\Rightarrow (a = \pm 1\,\wedge\,b = 0)\,\vee\, (a=\pm 1\,\wedge \,a = -1) \\ \\ \Rightarrow (a = \pm 1\,\wedge\,b = 0)\,\vee\, (a=-1) \\ \\ \Rightarrow (a,b) = \Big\{(\pm 1, 0);(-1,\mathbb{R})\Big\}\\ \\\\ \Rightarrow \boxed{(a,b) = \Big\{( 1, 0);(-1,\mathbb{R})\Big\}}$