Question

Determinati:
a) câte numere naturale de forma 25a sunt divizibile cu 2;
b) cate numere naturale de forma 6ab sunt divizibile cu 2
c) cate numere naturale de forma 17a sunt divizibile cu 3
d) cate numere naturale de forma 2ab sunt divizibile cu 3​

Answer 1

a) Câte numere naturale de forma 25a sunt divizibile cu 2

• Criteriu divizibilitate cu 2: "Un numar este divizibil cu 2 daca si numai daca ultima sa cifra este para (0, 2, 4, 6, 8)"

Respectand criteriul de divizibilitate cu 2 ⇒ a ∈ {0, 2, 4, 6, 8} ⇒

5 numere de forma 25a sunt divizibile cu 2

b) Cate numere naturale de forma 6ab sunt divizibile cu 2

a, b - sunt cifre

a, b ∈ {0, 1, 2, 3,......,9}

Respectand criteriul de divi. cu 2 ⇒ b ∈ {0, 2, 4, 6, 8}  - poate avea 5 valori

a ∈ {0, 1, 2, 3,......,9} - poate avea 10 valori

din ultimele 2 relatii ⇒ conform teoremei produsului ca avem 5 · 10 = 50 numere de forma 6ab care sunt divizibile cu 2

Exemple: 612, 608, 674, 656,.....

c) Cate numere naturale de forma 17a sunt divizibile cu 3

• Criteriul de divizibilate cu 3: "Un număr este divizibil cu 3 dacă și numai dacă suma cifrelor numărului este divizibilă cu 3"

a este cifra ⇒ a ∈ {0, 1, 2, 3,......,9} ⇒

1 +7 + a = 8 + a ⇒ suma cifrelor numarului 17a pentru a fi divizibila cu 3 poate fi: {9, 12, 15} ⇒ a ∈ {1, 4, 7} ⇒ sunt 3 de forma 17a sunt divizibile cu 3

17a ∈ {171, 174, 177}

d) Cate numere naturale de forma 2ab sunt divizibile cu 3​

a, b - sunt cifre

a, b ∈ {0, 1, 2, 3,......,9}

Respectand criteriul de divizibilitate cu 3 ⇒ suma cifrelor numarului 2ab pentru a fi divizibila cu 3 poate fi {3, 6, 9, 12, 15, 18}

vom analiza pe cazuri si vom avea:

• daca a = 0 ⇒ 2 + 0 + b = 2 + b ⇒ b ∈ {1, 4, 7} → 3 numere

• daca a = 1 ⇒ 2 + 1 + b = 3 + b ⇒ b ∈ {0, 3, 6, 9} → 4 numere

• daca a = 2 ⇒ 2 + 2 + b = 4 + b ⇒ b ∈ {2, 5, 8} → 3 numere

• daca a = 3 ⇒ 2 + 3 + b = 5 + b ⇒ b ∈ {1, 4, 7} → 3 numere

• daca a = 4 ⇒ 2 + 4 + b = 6 + b ⇒ b ∈ {0, 3, 6, 9} → 4 numere

• daca a = 5 ⇒ 2 + 5 + b = 7 + b ⇒ b ∈ {2, 5, 8} → 3 numere

• daca a = 6 ⇒ 2 + 6 + b = 8 + b ⇒ b ∈ {1, 4, 7} → 3 numere

• daca a = 7 ⇒ 2 + 7 + b = 9 + b ⇒ b ∈ {0, 3, 6, 9} → 4 numere

• daca a = 8 ⇒ 2 + 8 + b = 10 + b ⇒ b ∈ {2, 5, 8} → 3 numere

• daca a = 9 ⇒ 2 + 9 + b = 11 + b ⇒ b ∈ {1, 4, 7} → 3 numere

3 · 7 + 3 · 4 = 21 + 12 = 33 de numere de forma 2ab sunt divizibile cu 3​