Question

Determinati a din R pentru care varful parabolei y=ax^2-2(a+7)x+a are coordonate numere intregi. Ce sa fac? Multumesc anticipat!

Answer 1

y= ax² - 2·(a +7)·x  + a 
x  varf = - b / 2a  = 2· ( a + 7 ) / 2·a = ( a + 7 ) / a = a /a  + 7 /a  = 1 + 7 / a  ∈ Z 
                                                                                   daca      ↓        ↓
                                                                                           ∈ Z    si ∈Z 
a divide  pe  7  ⇒  a = - 7 , - 1 , 1 , 7 
Δ = 4(a +7 ) ² - 4 ·a·a = 4 · ( a² + 14a + 49  - a² ) = 4 · (14a + 49 ) =4·7·( 2a + 7 )
y varf  = - Δ  / 4·a  = - 4 · 7 · ( 2a  + 7 )  / 4·a =  = - 7 · ( 2a + 7) / a =
     = - 7· 2a / a  - 7·7 / a  = -14  -  49 / a  
                                         ↓            ↓
                                   intreg            intreg daca a = + / - 1  ; +/- 7  ; +/- 49 
solutia finala  cu x intreg , y intreg  este valoarea comuna a lui 
               a ∈ { - 7 , - 1 , 1 , 7 }