Question

Determinați a∈R pentru care punctele A(1,a), B(4,1) și C(-1,-4) sunt coliniare

Answer 1

VARIANTA 1
Rezolvare maide liceu
presupun ca ecuatia dreptei BC este
y= x-3
f(4)=4-3=1 deciB apartine drepteide ecd y=x-3
f(-1)=-1-3=-4 deci C apartine drepteide ecuatie y=x-3
Cum prin 2 puncte distincte trece o dreapta si numai una, inseamna ca presupunerea a fost  corecta si ecuatia dreptei BC chiar ESTE y=x-3
pun conditia ca A∈BC
f(1)=a
1-3=a
-2=a
a=-2

VARIANTA 2
rezolvare  (mai)de gimnaziu...cam fortata problema sa se dea la gimnaziu. dar fortam si noi teoria si rezolvarea
 prin 2 puncte trece o dreapta si numai una
 stim fara demonstratie ca ecuatia unei drepte coincide cu expresia unei functii de grad 1, adica de tipul
y=ax+b

cum B si C se afla pe o astfel de  dreapta (prin 2 puncte distincte trece o dreapta si numai una, axioma)
avem sistemul
 f(4)=1, ptB
f(-1)=-4, pt C


4a+b=1
-a+b=-4

scadem  a doua relatie din prima
5a=5
a=1
atunci, din prima relatie obtinem
b=1-4a=1-4=-3

a deci a=1 si b=-3
 si atunci f(x) =ax+b =x-3

punem acum conditia ca A sa apartina dreptei care reprezinta  graficului functiei y=x-3
a=1-3
a=-2

Answer 2

O varianta ar fi sa, scrii vectorii AB si AC sau AB si BC sau AC si BC, si apoi sa ne folosim de conditia de coliniaritate dintre 2 vectori.

Ne legam de AB si BC:

$A(1,a);\quad B(4,1); \quad C(-1,-4)\\ \\ \vec{AB} = (x_B-x_A)i + (y_B-y_A)j \Rightarrow \vec{AB} = (4-1)i+(1-a)j\Rightarrow \\ \Rightarrow \boxed{\vec{AB} = 3i + (1-a)j} \\ \\ \vec{BC} = (x_C-x_B)i + (y_C-y_B)j \Rightarrow \vec{BC} = (-1-4)i+(-4-1)j \Rightarrow \\ \Rightarrow \boxed{\vec{BC} = -5i-5j}$

$------------------------------ \\ \boxed{ Conditia de coliniaritate a doi vectori: }\\ \\ Consideram vectorii: \quad \vec{u} = x_1i+y_1j,\quad \vec{v} = x_2i+y_2j \\ Conditia de coliniaritate dintre vectorii u si v: \quad \boxed{\dfrac{x_1}{x_2} = \dfrac{y_1}{y_2}} \\ ------------------------------$

$\ Conditia de coloniaritate dintre vectorii AB si BC: \quad \dfrac{3}{-5} = \dfrac{1-a}{-5} \\ \Rightarrow 3 = 1-a \Rightarrow \boxed{a = -2}$