Question

Determinati al treilea termen al progresiei aritmetice (an)n≥1, stiind ca a1=4 si a2=7 .

Answer 1

Răspuns:

$a_3=10$

Explicație pas cu pas:

Întrebare: Determinați al treilea termen al progresiei aritmetice $(a_n),\forall n\geq 1$, știind că $a_1=4$ ș i$a_2=7$.

Rezolvare:

$a_3=a_2+r$

$a_2=a_1+r\\ 7=4+r\\ r=3$

$a_3=a_2+r\\ a_3=7+3\\ a_3=10$

Pentru a putea calcula al treilea termen avem nevoie de rație. Rația am aflat-o conform proprietății (1), deși se poate și astfel: $a2-a1=r$ căci știm ca rația este diferența dintre doi termeni.

(A) Teorie:

Definiție: Un șir de numere reale în care orice termen, începând cu al doilea, se obține din termenul precedent adunat cu același număr se numește progresie aritmetică, adică: $\boxed{a_{n+1}=a_n+r}, \forall n\geq 1$ unde $r \in\mathbb{R}$ este numit rație.

(B) Proprietăți:

(1) $\boxed{a_n=a_1+(n-1)r}$ pentru orice n≥1

(2) $\displaystyle\boxed{a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}}$ pentru orice n≥2

(3) $\displaystyle \boxed{S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n=\frac{2a_1+(n-1)r}{2}\cdot n }$ pentru orice n≥1, Sn fiind suma primilor n termeni ai progresiei noastre.

(4) $\boxed{a_1+a_n=a_k+a_{n-k+1}}$ pentru orice k≥1, adică suma termenilor extremi e egală cu suma termenilor egal depărtați de cei extremi.