Question

Determinați apotema bazei și apotema piramidei regulate cu vârful în V,în următoarele cazuri:

a)VABC cu VA=13cm și BC=10cm

b)VABCD cu VA=√10 și BC=2cm

c)VABCDEF cu VA=9cm și BC=6dm

Answer 1

a) VM²=13²-(10/2)²⇒VM=12
OM²=12²-5²⇒OM=√119

b)VM²=10-1=9⇒VM=3
 OM²=9-1=8⇒OM=2√2

c)daca sunt centimetri si la BC
VM²=9²-3²⇒VM=6√2
OM²=72-9⇒VM=√63=3√7

daca la BC sunt decimetri imposibil VC ipotenuza in VMC=9cm
MC, cateta =3dm=30cm>9cm, contradictie, piramida nu exista (nu exista o piramida regulata  care sa aibe jumate din muchia bazei mai mare decat muchia laterala)

Answer 2

a)VABC cu VA=13cm și BC=10cm

Desenăm piramida, ducem AM mediană (și înălțime), cu M pe BC,  și atunci VM va fi apotema piramidei.

Fixăm O pe AM, astfel încât OM = AM/3, deci O este centrul cercului circumscris triunghiului ABC, iar OM este apotema bazei.

Din triunghiul BMA, dreptunghic în M, cu MB = 10/2= 5 cm și AB = BC = 10 cm, se determină AM = 5√3 cm (cu teorema lui Pitagora).

Apotema bazei este OM = AM/3 = 5√3/3 cm.

Apotema piramidei se determină cu teorema lui Pitagora în triunghiul VMB, dreptunghic în M, cu BM = 5cm, VB = VA = 13 cm.

Obținem VM² =  13² - 5² = (13-5)(13+5) = 8·18 = 4·2·2·9 = 4·4·9 ⇒

⇒ VM = √(4·4·9) = 2·2·3 = 12 cm


b)VABCD cu VA=√10 și BC=2cm

Desenăm piramida cu ABCD baza (pătrat),  ducem diagonalele AC și BD , care se intersectează în O.

Ducem OM apotema bazei, cu M pe BC.

 AB = BC = 2 cm

OM = AB/2 = 2/2 = 1 cm.

VM este apotema piramidei, care se află cu teorema lui Pitagora în triunghiul

VMB, dreptunghic în M, cu MB = BC/2 = 2/2 = 1 cm și VB = VA = √10 cm.

Obținem:

VM ² = (√10)² - 1² = 10 - 1 = 9 ⇒ VM = √9 = 3 cm.


c) Fie  BC = 6 cm și O centrul bazei.

În triunghiul OBC ducem OM⊥ BC, cu M pe BC.

Apotema bazei este OM și reprezintă înălțime în triunghiul echilateral OBC.

OM = 3√3 cm .