Question

Determinați aria unui triunghi dreptunghic ABC în care catetele de lungimi b și, respectiv, c verifică:
√(b²-4√3b+13)+√(c²-6√2c+22)≤3.
Am rezolvat o parte, dar m-am blocat...
√[b*b-2*2√3*b+(2√3)²+1]=√[(b-2√3)²+1]
Analog c și obțin √[(c-3√2)²+4].
√[(b-2√3)²+1]+√[(c-3√2)²+4]≤3

Clasa a VII-a, mulțumesc.

Answer 1

Ai rezolvat bine până acolo, dar de dragul exercițiului, voi lua de la capăt!

Ni se cere aria triunghiului dreptunghic cu catetele b și c.

Formula este dată de:

$A= \dfrac{b \cdot c}{2}$

În concluzie avem nevoie de b și c, pe care le deducem din inegalitatea dată:

$\sqrt{b^2-4 \sqrt{3}b+13 }+ \sqrt{c^2-6 \sqrt{2}c+22} \leq 3$

Formăm pătrate perfecte sub fiecare radical, folosindu-ne de formula:

$x^2-2xy+y^2=(x-y)^2$

De unde rezultă:

$\sqrt{(b-2 \sqrt{3})^2+1 }+ \sqrt{(c-3 \sqrt{2} )^2+4} \leq 3$

Observăm că sub fiecare radical se află un pătrat perfect, despre care știm că este mai mare sau egal cu 0 (e important acest aspect), plus un număr. 

De aici avem două cazuri:

1. Dacă pătratele perfecte sunt egale cu 0, rezultă că:

$(b-2 \sqrt{3})^2 = 0 \Rightarrow \sqrt{(b-2 \sqrt{3})^2+1} = 1 \\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\Rightarrow\\ (c-3 \sqrt{2} )^2 = 0 \Rightarrow \sqrt{(c-3 \sqrt{2})^2+4}=2$

$\sqrt{0+1} + \sqrt{0+4} = 3 \Leftrightarrow 1+2=3 \leq 3$, care verifică inegalitatea.

2. Iar în al doilea caz, dacă pătratele perfecte sunt mai mari decât 0:

[tex](b-2 \sqrt{3})^2 \ \textgreater \ 0 \Rightarrow \sqrt{(b-2 \sqrt{3})^2+1}\ \textgreater \ 1 \\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\Rightarrow\\ (c-3 \sqrt{2} )^2 \ \textgreater \ 0 \Rightarrow \sqrt{(c-3 \sqrt{2})^2+4}\ \textgreater \ 2 [/tex]

$\sqrt{(b-2 \sqrt{3})^2+1 }+ \sqrt{(c-3 \sqrt{2} )^2+4} \ \textgreater \ 3$, care nu verifică inegalitatea.

Din (1) și (2) rezultă că singura soluție corectă este când pătratele perfecte sunt egale cu 0, când se respectă inecuația.

Deci: 

$(b-2 \sqrt{3})^2 =0 \Rightarrow b=2 \sqrt{3}$

și

$(c-3 \sqrt{2} )^2=0 \Rightarrow c=3 \sqrt{2}$

Acum, ca să aflăm aria, aplicăm formula și rezultă că:

$A= \dfrac{2 \sqrt{3}~ \cdot 3 \sqrt{2} }{2} =3 \sqrt{6}$