Question

Determinati cel mai mare numar natural n, astfel incat ( 1 · 3 · 5 · ... · 100 ) divizibil cu 3^n.

Answer 1

$1\cdot 3\cdot 5\cdot7\cdot...\cdot 99\cdot 100 = 99!!\cdot 100$

100 nu divizibil cu 3, îl eliminăm din produs.

Astfel avem: 1 · 3 · 5 · 7 · ... · 99 = 99!! = m!!

(!! inseamnă dublu factorial.)

Formula lui Legendre cu m! pentru a afla cea mai mare 3ⁿ putere divizibilă este:

$n = \displaystyle \sum\limits_{k=1}^\infty \left[\dfrac{m}{3^k}\right]$

Iar formula lui Legendre adaptată pentru m!! impar ci nu pentru m! (formula pentru a afla cel mai mare număr natural n astfel încât m!! impar să fie divizibil cu 3ⁿ) se poate deduce ca fiind:

$\displaystyle n =\sum\limits_{k=1}^{\infty}\left[\dfrac{\dfrac{m}{3^k}+1}{2}\right] =\sum\limits_{k=1}^{\infty}\left[\dfrac{\dfrac{99}{3^k}+1}{2}\right] = \\ \\ =\left[\dfrac{\dfrac{99}{3}+1}{2}\right] + \left[\dfrac{\dfrac{99}{3^2}+1}{2}\right] +\left[\dfrac{\dfrac{99}{3^3}+1}{2}\right] +\left[\dfrac{\dfrac{99}{3^4}+1}{2}\right]+... = \\ \\\\ = \big[17\big]+\big[6\big]+\big[2,(3)\big] +\big[1,(1)\big] +0+0+... = \\ \\ = 17+6+2+1 = \boxed{26}$

Answer 2

Nu stiu ce cauta 100=le ala acolo daca sirul e impar... posibil vreo eroare de tipar si trebuia 99

1, 3, 5, 7, 9, ... 100

Multiplii impari ai lui 3 de la 1 la 100 sunt:  (ii scriu sub forma 3*k, k impar)

3*1, 3*3, 3*5, 3*7, 3*9, 3*11, 3*13, 3*15, 3*17, 3*19, 3*21, 3*23, 3*25, 3*27, 3*29, 3*31, 3*33

Deci 17 de 3

Luam acei "k" si ii descompunem sub  forma 3*m, m impar

in sirul 1, 3, 5, 7, 9, ..., 33 avem de forma 3*m numerele:

3*1, 3*3, 3*5, 3*7, 3*9, 3*11

Deci inca 6

Luam acei "m" si ii descompunem sub forma 3*n,  n  impar

Si in sirul 1, 3, 5, 7, 9, 11 ii avem ca multiplii de 3 pe 3*1, 3*3  

Deci inca 2

si in sirul 1, 3 mai avem doar un 3

17+6+2+1=26