Question

Determinati cel mai mare numar natural n astfel incat 1×3×5×...×100 este divizibil cu 3^n

Answer 1

Consideram
a=1·3·5·.....·100
Putem observa usor multiplii naturali ai lui 3 prin descompunere in factori primi:
3=3·1
9=3·3
15=3·5
21=3·7
.....
99=3·33
Asadar ,in produsul factorial de mai sus se afla (33+1)/2=17 factori multiplii naturali ai lui 3.
Astfel ,a=1·3·5·.....·100 mai poate fi scris
a=3¹⁷·3⁶·3³·1²·5²·7²·11²·.....·97·100=3²⁶·1²·5²·7²·11²·13·.....·97·100;
Cea mai mare valoare admisa de n astfel incat 3ⁿ sa divida pe a este 3ⁿ=3²⁶ ⇔n=26.

Answer 2

100 de la capăt trebuie scris 101, din motive de coerență imediată.

Avem factori numerele impare consecutive de la 1 la 101

În total sunt (101+1)/2 =51 de factori.

Acești factori pot fi grupați , începând cu primul, câte trei, iar apoi se

poate constata că avem triplete de forma (3k+1, 3k, 3k+2).

Vor fi 51:3 =17 triplete.

În fiecare triplet există numai câte un multiplu al lui 3, deci în total vor fi 17 multiplii ai lui 3.

Dintre aceștia, avem 9, 45, 63 și 99 care conțin 3·3 adică la cei 17 se mai

adună 4 și 17+4 = 21 de repetiții a lui 3, adică 3^21.

La aceștia trebuie să adunăm 27 = 3·3·3, adică încă doi de 3 în plus, care va conduce la 3^23.

La final, avem 81 = 3·3·3·3, adică, față de primul 3, socotit inițial,

mai apar încă trei de 3, iar de aici rezultă 3^26.