Question

Determinati  cel mai mare si cel mai mic numar natural divizibil cu 36 de forma:
a)5x1y cu bara deasupra, x diferit de y
b)8x3y cu bara deasupra
c)72xy cu bara deasupra
d)6xy cu bara deasupra, x diferit de y
e)8xx cu bara deasupra
f)9xxy cu bara deasupra

Answer 1

36=4*9
Daca un nr este divizibil cu 36, inseamna ca este divizibil si cu 4 si cu 9 in acelasi timp.
Din criteriul de divizibilitate cu 4, rezulta ca numarul format din ultimele doua cifre ale numarului trebuie sa fie divizibil cu 4.
Criteriul de divizibilitate cu 9 spune ca suma cifrelor numarului trebuie sa fie divizibila cu 9, deci:
a) 5x1y divizibil cu 4 rezuta 1y apartine multimii {12, 16}
5x1y divizibil cu 9 rezuta 5+x+1+y=6+x+y este divizibil cu 9

Pentru a obtine numarul cat mai mare, cautam x cifra cat mai mare, deci incercam pentru x=9:
591y, cu y cat mai mare din multimea {2, 6}. Nici una dintre valorile lui y=2 sau y=6 nu furnizeaza un multiplu de 9, deci nu avem solutie pentru x=9.
Incercam x=8:
581y, cu y cat mai mare din multimea {2, 6}. Nici una dintre valorile lui y=2 sau y=6 nu furnizeaza un multiplu de 9, deci nu avem solutie pentru x=8.
Incercam x=7:
571y, cu y cat mai mare din multimea {2, 6}. Nici una dintre valorile lui y=2 sau y=6 nu furnizeaza un multiplu de 9, deci nu avem solutie pentru x=7.
Incercam x=6:
561y, cu y cat mai mare din multimea {2, 6}. Observam ca y=6 convine:
5+6+1+6=18 divizibil cu 9, deci cel mai mare numar cautat este: 5616.

Pentru cel mai mic numar, cautam x=cifra cat mai mica.
Incercam pentru x=0:
501y, cu y cat mai mic din multimea {2,6} nu are solutii convenabile
Pentru x=1:
511y, cu y cat mai mic din multimea {2,6} are solutia y=2, deci numarul cel mai mic cautat este: 5112.

b) 8x3y divizibil cu 4 rezuta 3y apartine multimii {32, 36}
8x3y divizibil cu 9 rezuta 8+x+3+y=11+x+y este divizibil cu 9

Conforma rationamentului de mai sus, avem:
Pentru numarul cel mai mare:
Daca x=9, nu avem solutii convenabile pentru y.
Daca x=8, nu avem solutii convenabile pentru y.
Daca x=7, nu avem solutii convenabile pentru y.
Daca x=6, nu avem solutii convenabile pentru y.
Daca x=5, rezulta y=2 este solutie convenabila, deci numarul cel mai mare cautat este: 8532.

Pentru numarul cem mai mic:
Daca x=0, nu avem solutii convenabile pentru y.
Daca x=1, rezulta y=6 este solutie convenabila, deci numarul cel mai mare cautat este: 8136.

c) 72xy divizibil cu 4 rezuta xy apartine multimii {00, 04, 08, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64, 68, 72, 76, 80, 84, 88, 92, 96}
72xy divizibil cu 9 rezuta 7+2+x+y=9+x+y este divizibil cu 9. Deci cautam doar x+y divizibil cu 9.

Conforma rationamentului de la punctul anterior, avem:

Pentru numarul cel mai mare, singurele numere xy din multimea de mai sus a caror suma a cifrelor sa fie divizibila cu 9 sunt: 36, 72, deci cel mai mare numar se obtine pentru xy=72, adica numarul cautat este: 7272.

Pentru numarul cel mai mic, xy=36 convine, deci numarul cautat este: 7236.

d) 6xy, la fel ca la punctul anterior:

6xy divizibil cu 4 rezuta xy apartine multimii {00, 04, 08, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64, 68, 72, 76, 80, 84, 88, 92, 96}
6xy divizibil cu 9, rezuta 6+x+y este divizibil cu 9.

Pentru numarul cel mai mare, cautam, in multimea valorilor lui xy, pe cele cu x cat mai mare, care sa indeplineasca conditia: 6+x+y este divizibil cu 9 (deci parcurgem multimea de la sfarsit la inceput).
Gasim xy=84, deci numarul maxim cautat este: 684.

Pentru numarul cel mai mic, cautam, in multimea valorilor lui xy, pe cele cu x cat mai mic, care sa indeplineasca conditia: 6+x+y este divizibil cu 9 (deci parcurgem multimea de la inceput la sfarsit).
Gasim xy=12, deci numarul maxim cautat este: 612.

e) 8xx divizibil cu 4 rezuta xx apartine multimii {00, 44, 88}
8xx divizibil cu 9 rezuta 8+x+x=8+2x este divizibil cu 9

Observam ca nici una dintre valorile din multimea {00, 44, 88} pentru xx nu convine (8+2x nu este divizibil cu 9 pentru nici una din valori), deci nu exista numere de forma 8xx care sa fie divizibile cu 36.

f) 9xxy divizibil cu 4 rezuta xy apartine multimii {00, 04, 08, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64, 68, 72, 76, 80, 84, 88, 92, 96}
9xxy divizibil cu 9 rezuta 9+x+x+y=9+2x+y este divizibil cu 9, deci cautam doar 2x+y divizibil cu 9.

Observam ca nici una dintre valorile lui xx din multimea de mai sus nu convine (2x+y nu este divizibil cu 9 pentru nici una din valori), deci nu exista numere de forma 9xxy care sa fie divizibile cu 36.