Question

determinați cel mai mic număr natural care începe cu cifra 8 și care se micșorează de 4 ori prin mutarea acestei cifre la sfârșitul numarului

Answer 1

Numarul va avea minim 2 cifre
8x=4*x8
80+x=4(10x+8)
80+x=40x+32
80-32=39x
48=39x, x∉N
8xy=4*xy8
800+10x+y=4(100x+10y+8)
800+10x+y=400x+40y+32
768=390x+39y=39(10x+y) 39nu divide pe 768, nu avem solutii naturale


8xyz=4*xyz8

8000+100x+10y+z=4(1000x+100y+10z+8)
8000+100x+10y+z=4000x+400y+40z+32
7968=3900x+390y+39z=39(100x+10y+z)
39 nu divisde pe 7968 nu avem solutii naturale
 Observam ca numerele cautate sunt de forma
80...0 (un anumit numarde 0)-32, care sa fie divizibile cu 39
(nu mai demonstrez prin inductie, probabil este posibil)

80000-32=79968 ; 79968:39∉N
 800000-32=799968:39=20512∈N
deci numarul este de forma
8xyzuv=4*xyzuv8
800000+10000x+1000y+100z+10u+v=
4(100000x+10000y+1000z+100u+10v+8)

800000+10000x+1000y+100z+10u+v=
400000x+40000y+4000z+400u+40v+32
799968=390000x+39000y+3900z+390u+39v
799968=39(10000x+1000y+100z+10u+v)
(10000x+1000y+100z+10u+v)=799968:39
(10000x+1000y+100z+10u+v)=20512
xyzuv (numar)=20512

 8xyzuv numar=820512, cerinta

 verificare 820512=4*205128
Adevarat problema este bine rezolvata