Question

Determinati cel mai mic si cel mai mare numar natural din trei cifre care impartite pe rand la 8, 12 si 21 dau acelasi rest diferit de zero
Vreau o explicatie concreta si usoara, VREAU SA INTELEG acest tip de exercitiu pentru ca voi da test cu el

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

Deimpartit = Impartitor x Cat + Rest

n = 8C1 + R

n = 12C2 + R

n = 21C3 + R

___________

n - R = 8C1

n - R = 12C2

n - R = 21C3

8 = 2^3

12 = 2^2*3

21 = 3*7

cmmmc (8, 12, 21) = 2^3*3*7 = 168

n - R = 168

n = 168 + R

impartitorii sunt 8, 12, 21; restul trebuie sa fie mai mic decat impartitorul, deci R este mai mic decat 8

pentru cel mai mic numar trebuie cel mai mic rest nenul, deci R = 1

n = 168 + 1 = 169 (cel mai mic numar cautat)

pentru cel mai mare numar cautam un multiplu de 168 + R (R = 7 = cel mai mare rest posibil) apropiat de 999

168*5 = 840

168*6 = 1008 (are 4 cifre)

cel mai mare numar cautat este 840 + 7 = 847

Answer 2

Notăm cu n un asemenea număr.

$\it n:8=a\ \ rest\ r \Rightarrow n=8a+r \Rightarrow n-r=8a\ \ \ \ \ (1)\\ \\ n:12=b\ \ rest\ r \Rightarrow n=12b+r \Rightarrow n-r=12b\ \ \ \ \ (2) \\ \\ n:21=c\ \ rest\ r \Rightarrow n=21c+r \Rightarrow n-r=21c\ \ \ \ \ (3)\\ \\ \\ (1),\ (2),\ (3) \Rightarrow n-r\in M_8\cap M_{12} \cap M_{21} \\ \\ 8=2^3\\12=2^2\cdot3\\21=3\cdot7\\ \rule{60}{0.4}\\ \Big[ 8,\ 12,\ 21 \Big]=2^3\cdot3\cdot7=8\cdot21=168\\ \\ n-r\in\{168,\ 336,\ 404,\ 672,\ 840\}\\ \\ r=0 \Rightarrow n=168\ (cel\ mai\ mic\ num\breve ar\ cerut$

$\it (1) \Rightarrow\ restul\ maxim\ este\ \ r=7.\\ \\ Cel\ mai\ mare\ num\breve ar\ cerut\ este:\\ \\ n=840+7 \Rightarrow n=847$