Question

Determinati cifra de pe pozitia 2011 a nr
A1222232224222252222..........2011222....2 211cifre in total va rog frumos sa îmi scrieți doua rezolvaroti mai explicite! ! Repede!!

Answer 1

   
Numarul este format grupe de cifre de forma:
■ un sir de numerede la 1 la 2011 
■ fiecare din acest numar este urmat de atatea cifre de 2 cat indica numarul.
Numim "GRUPA" fiecare numar impreuna cu cifrele de 2 care urmeaza dupa el.

Calculam numarul de cifre pe urmatoarele tronsoane: 
1) de la grupa 1 pana la grupa 9
2) de la grupa 10 pana la grupa 99
3) de la grupa 100 la grupa 999 - doar daca este nexesar
4) s.a.m.d  - doar daca este necesar


[tex]\displaystyle \\ \text{Tronsonul 1 :} \\ 2+3+4+\cdots+10=\frac{9(10+2)}{2}=\frac{9\times12}{2}=9\times6= \boxed{54~de~cifre}\\\\ \text{Tronsonul 2 :}\\ 12+13+14+\cdots+101=?\\\\ \text{Calculam numarul de termeni:}\\ n=101-12+1=90~de~termeni\\ 12+13+14+\cdots+101=\\\\ =\frac{90(101+12)}{2}=\frac{90\times113}{2}=45\times113= \boxed{5085~de~cifre}\\\\\\ \text{Nu mai este necesar sa calculam tronsoanele urmatoare}\\ \text{deoarece: } (5085+54) \ \textgreater \ 2011[/tex]


Presupunem ca a 2011-a cifra din sir este ultima cifra a unei grupe.
Aceasta grupa este grupa "n" din tronsonul 2. 


[tex]\displaystyle \\ 12+13+14+\cdots+n=?\\\\ \text{Calculam numarul de termeni:}\\ n=n-12+1=(n-11)~de~termeni\\ 54 + (12+13+14+\cdots+n)=\\\\ =\boxed{54+\frac{(n-11)(n+12)}{2}~cifre}\\ \text{unde 54 este nr. de cifre din primul tronson.}\\\\ \text{Rezolvam ecuatia:}\\\\ 54+\frac{(n-11)(n+12)}{2}=2011\\\\ \frac{(n-11)(n+12)}{2}=2011-54\\\\ \frac{(n-11)(n+12)}{2}=1957\\\\ (n-11)(n+12)=1957\times2\\\\ (n-11)(n+12)=3914\\\\ n^2-11n+12n-132=3914\\\\ n^2+n-132-3914=0[/tex]


[tex]\displaystyle \\ n^2+n-4046=0\\\\ n_{12} = \frac{-1 \pm \sqrt{1+4\times 4046}}{2} =\frac{-1 \pm \sqrt{16185}}{2}\\\\ \text{Eliminam solutia negativa deoarece }~n\ \textgreater \ 0\\\\ n = \frac{-1 + \sqrt{16185 }}{2}= \frac{-1 + 127,22}{2}=\frac{126,22}{2}=63,11 \\\\ \text{Rezulta ca a 2011-a cifra se afla in grupa notata cu 64 din tronsonul 2.}\\\\ \text{Calculam nr de ordine al ultimei cifre din grupa} \\ \text{notata cu 63 din tronsonul 2}[/tex]


[tex]\displaystyle \\ 12+13+14+\cdots+63=?\\\\ \text{Calculam numarul de termeni:}\\ n=63-12+1=52~de~termeni\\ 54 + (12+13+14+\cdots+63)=\\\\ =54+\frac{52(63+12)}{2} = \\ \\ =54+\frac{52 \times 75}{2} = 54 + 26 \times 75 =54 + 1950 =2004\\ \\ \Longrightarrow~~\text{A 2004-a cifra este ultima cifra a grupei} \\ \text{notate cu 63 din tronsonul 2.} \\ \\ 2011 - 2004 = 7 \\ \\ \Longrightarrow~~\text{A 2011-a cifra este a 7-a cifra a grupei} \\ \text{notate cu 64 din tronsonul 2.} [/tex]


[tex]\text{Grupa notata cu 64 din tronsonul 2, are 64 de cifre, astfel: } \\ \\ 6222222...2222, ~~\text{adica numarul 62 urmat de 62 cifre de 2. } \\ \\ \Longrightarrow~~\text{A 7-a cifra din grupa notata cu 64 este 2.} \\ \\ \Longrightarrow~~\text{A 2011-a cifra a numarului dat in enunt este:} ~\boxed{2}[/tex]