Question

Determinati cifrele a si b stiind ca ab3(nr nat) =3 la puterea a+b-1
Determinati a,b si c stiind ca aa0(nr nat) + 3•b0(nr nat) = ccc0(nr nat) Numerele sunt scrise inbaza 10

Answer 1

1. Voi nota (ab3)=numarul natural de trei cifre ab3 (care se scrie, de obicei, cu bara deasupra).

(ab3)=$3^{a+b-1}$

(ab3)=$\frac{ 3^{a+b} }{3}$, deci:

3*(ab3)=$3^{a+b}$, prin urmare ultima cifra a lui $3^{a+b}$ este 9, adica (a+b) este o putere de forma 4k+2 a lui 3. Cum a si b cifre si $3^{a+b}$ trebuie sa aiba cel putin trei cifre, rezulta ca (a+b)∈{6, 10, 14, 18}.

Observam ca a poate lua valori intre 1 si 9, iar b ia valori intre 0 si 9. Deci valiarea maxima a lui (ab3) este 993, caz in care avem:

3*993=2979<$3^{8}$, deci (a+b) nu poate fi decat 6 dintre valorile enumerate mai sus. Cum a≥1 inseamna ca avem variantele:
(a;b)∈{(1;5), (2;4), (3;3), (4;2), (5;1)}

Dam, pe rand, valori lui a si b din multimea de mai sus si gasim singura varianta convenabila: a=2 si b=4. Intr-adevar:

243*3=729=$3^{2+4}$=$3^{6}$


2.  Cu aceleasi notatii ca la ex anterior, avem:

(aa0)+3*(b0)=(ccc0) , care se mai scrie:
(aa)*10+3*b*10=(ccc)*10 Observam ca putem imparti la 10 ambii membri si obtinem:

(aa)+3*b=(ccc)

Cum a, b si c sunt cifre, rezulta ca valoarea maxima pe care o pot lua a si b este 9, deci:

(ccc)=(aa)+3*b ≤ 99+3*9=126, de unde rezulta ca c=1
Exercitiul se rescrie:
(aa)+3*b=111

Cum 111 este impar, rezulta ca a si 3*b trebuie sa aiba paritati diferite.
Mai observam ca 111 este multiplu de 3, 3*b este multiplu de 3, deci si (aa) este multiplu de 3, adica suma cifrelor lui (aa) este multiplu de 3, adica 2*a este multiplu de 3, deci a este multiplu de 3. Cum a este cifra, inseamna ca a∈{3, 6, 9}
Dam, pe rand, valori lui a din aceasta multime si gasim singura varianta convenabila a=9 si b=2 (in care b este cifra).

Deci solutia finala este: a=9, b=4, c=1.

Intr-adevar:
99+3*4=111