Question

Determinati cifrele distincte a,b,c stiind ca numarul n= abc+bca +cab toate au bara deasupra + a+b+c este patrat perfect

Answer 1

orice numar de 3 cifre poate fi scris astfel
abc (cu bara deasupra)=100a+10b+c
(cifra sutelor  cifra zecilor si cifra unitatilor)

deci dupa acest model n este 
n=100a+10b+c+100b+10c+a+100c+10a+b+a+b+c
n=111a+111b+111c+a+b+c
n=112a+112b+112c
n=112(a+b+c)

iar 112=2^2 * 2^2 * 7 (^2 inseamna la patrat)
si pentru ca n sa fie patrat, atunci trebuie ca a+b+c sa fie 7 (deoarece in descompunerea lui 112, 7 nu este la patrat, air ceilalti termeni sunt la patrat)

deci a+b+c=7

deoarece daca iau pe a mai mare ca 2 si b si c mai mari ca 2 da suma mai mare decat 7, rezulta ca
a=1
b=2
c=4

acesta e singurul set de numere au suma 7 (toate sunt diferite de 0, deoarece abc bca si cab nu pot incepe cu 0) si sunt diferite

desigur exista mai multe aranjamente la acest set, de exemplu
a=4
b=1
c=2
dar tot aceleasi numere sunt