Question

determinati cifrele distincte a si b, ab si ba sa fie numere frime


determinati numerele naturale de forma ab , stiind ca suma dintre ab si ba este patrat perfect


daca abc este nr prim calculati cati divizori are numarul abcabc


nu pot sa dau mai multe puncte ca nu mai am dar dau coroana

Answer 1

$1.~Cum~ \overline{ab}~si~ \overline{ba}~sunt~simultan~prime,~rezulta~ca~a,b \in \{1,3,7,9\}. \\ \\ Pentru~a=1~se~obtine~b \in \{3,7\}. \\ \\ Pentru~a=3~se~obtine~b \in \{1,7\}. \\ \\ Pentru~a=7~se~obtine~b \in \{1,3,9\}. \\ \\ Pentru~a=9~se~obtine~b=7. \\ \\ Observatie:~Pentru~rezolvarea~acestui~exercitiu,~trebuie~cunoscute \\ \\ numerele~prime~de~doua~cifre(11,~13,~17,~19,~23,~29,~31,~37,~41,~43, \\ 47,~53,~59,~61,~67,~71,~73,~79,~83,~89,~97).$

$2.~Avem:~ \overline{ab}+ \overline{ba}=(10a+b)+(10b+a)=11a+11b=11(a+b). \\ \\ Deci~11(a+b)~este~patrat~perfect,~de~unde~rezulta~ca~a+b=11k^2 \\ \\ (k \in~N).~dar~2 \leq a+b \leq 18,~\Leftrightarrow 2 \leq 11k^2 \leq 18,~deci~k=1. \\ \\ Asadar~a+b=11. \\ \\ \underline{Solutie}: \overline{ab} \in \{29,38,47,56,65,74,83,92\}.$

$3.~ \overline{abcabc}=1000 \cdot \overline{abc}+ \overline{abc}= \overline{abc} \cdot 1001=7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot \overline{abc}. \\ \\ Descompunerea~acestui~numar~in~produs~de~factori~primi~este~deci \\ \\ 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot \overline{abc}.~Fiecare~numar~prim~este~la~puterea~1. \\ \\ Deci~numarul~are~(1+1)(1+1)(1+1)(1+1)=16~divizori.$