Question

Determinati domeniul maxim de definitie D pentru functia f:D-> R in cazul:
f(x)=arcsin (2x/1+x^2)

Answer 1

-1≤2x/(1+x²)≤1



2x/(1+x²)≤1
2x≤1+x²
x²-2x+1≥0 adevarat ∀x∈R

-1≤2x/(1+x²)
2x/(1+x²)+1≥0
(2x+1+x²)/(1+x²)≥0
1+x²≥1>0
x²+2x+1=(x+1)²≥0 adevarat∀x∈R

 Ambele inegalitati fiind satisfacute, rezulta ca domeniul maxim de definitie este R




EXTRA
la super oferta , pachet de Pasti, cred ca graficele g(x) = 2x/(1+x²)
si f(x) arata ca in attach
se vede ca dom maxim de definitie este R
daca gresesc  ceva, nu ma reclamati la abuz, pt ca  e la ceva ce nu s-a cerut in problema
pt primul am verificat monotonia si merge pt ca are prima derivata 2(1-x²)/(1+x²)²
merg si maximul si minimul (functiile sunt impare)

Answer 2

Pentru arccos, demonstratia este asemanatoare, doar intervalul unde e biejctiva functia cosx este [0,π], cu valori in [-1,1], dar rezultatul e diferit.