Question

Determinati functia de gradul al 2 lea care are valoarea maxima de 3/4 si al carui grafic contine punctul A(0,-1) si are ca axa de simetrie dreapta d:2x-1=0. Va rog frumos sa si explicati cum ati rezolvat.

Answer 1

$f(x) = a x^{2} +bx+c$ (functie de gradul II )
Reprezentarea sa grafica este o parabola cu varful : $V ( \frac{-b}{2a} , \frac{-delta}{4a})$

A ( 0,-1 ) ∈ Gf ⇒ f(0) = -1 ⇒ c=  -1
2x - 1 = 0 ⇒ x = 1/2 ⇒ varful are abscisa 1/2
⇒ $\frac{-b}{2a} = \frac{1}{2}$ ⇒ -b = a

Valoarea maxima = 3 / 4 ⇒ parabola are ramurile in joc ⇒ a < 0 , $y_{V}= \frac{3}{4}$
⇒ $\frac{-delta}{4a} = \frac{3}{4}$ ⇒ -Δ = 3a ⇒ Δ = -3a
⇒ $b^{2} - 4ac = - 3a$ ⇒ $b^{2} + 4a = -3a$
$b^{2} = -7a$  
a = -b                                 ⇒ $b^{2} = 7b$ ⇒ b ( b - 7 ) = 0
                                          ⇒ b = 0 , b = 7
Daca b = 0 ⇒ a = 0 ( nu ar exista functie de gradul II )
Daca b = 7 ⇒ a = -7 ⇒ f(x) = -7$x^{2}$ + 7x - 1