Question

Determinati functia f definita in R cu valori in R, stiind ca:
a) f(3x-4)=6x-11, ∀x∈R
b) f(x-3)+1≤x≤f(x)-2, ∀x∈R
c) 3f(x)-2f(x-1)=x+1,∀x∈R

Answer 1

a) la gimnaziu se studiazanumai functiade grad1, tip f(x) =ax+b

atunci a(3x-4)+b=6x-11
3ax-4a+b=6x-11

Identificam coeficientii
3a=6
-4a+b=-11


a=2
-8+b=-11
b=-3

Verificare
f(x) =2x-3
f(3x-4)=2(3x-4)-3=6x-8-3=6x-11



c)3(ax+b)-2(a(x-1)+b)=x+1
3ax+3b-2ax+2a-2b=x+1
ax+2a+b=x+1
a=1
2a+b=1
b=-1
f(x) =x+1
verificare
3(x-1)-2(x-2)=x+1
x-3+4=x+1
x+1=x+1, adevarat




b) f(x-3)+1≤x≤f(x)-2
a(x-3)+b+1≤x≤ax+b-2

ax-3a+b+1≤x≤ax+b-2  scadem b peste tot
ax-3a+1≤x-b≤ax-2 


x≤ax+b-2 ∀x∈R
ax-x+b-2≥0 ∀x
(a-1)x+b-2≥0, ∀x

pt a-1≠0 functiade grad 1 este monoton crescatoare sau descrescatoare , va schimba senmnul in x=(b-2)/(a-1), si nu poate fi≥0 pe tot R
VEZI GRAFIC FUNCTIE DE GRAD 1,definita pe R,  neconstanta, e dreapta care TAIE axa ox
singura posibiltate este ca a-1=0 si functia (a-1)x +b-2=b-2, constant

asadar din a doua inegalitate a=1,b-2≥0⇒ b≥2  (1)

prima inegal;itate
ax-3a+b+1≤x
x(a-1)-3+b+1≤0
-3+b+1≤0
b-2≤0

b≤2 (2)

din conditiile (1) si (2)⇒b=2

deci f(x) =1*x+2=x+2

verificare

x+2-3+1≤x≤x+2-2
x≤x≤x Adevarat
as  stupid as that!!