Question

Determinați funcția liniară cu proprietatea f(x+1/3)< sau egal 3x< sau egal f(x)+1

Answer 1

fie f(x) = ax+b, functia cautata
atunci
a(x+1/3)+b≤3x≤ax+b+1

ax+a/3+b≤3x≤ax+b+1

ascadem ax+b din fiecare termen al dublei inegalitati
a/3≤3x-ax-b≤1
a/3≤x(3-a)-b≤1

cum x(3-a)-b este o functiede grad 1 bijectiva pe R pt 3-a≠0, pt ca sa avem un codomeniu marginit este necesar ca functia sa fie constanta deci a=3
atunci relatia devine
3/3≤-b≤1
1≤-b≤1
 deci -b=1
b=-1

functia este deci f(x)=-1
avem atunci relatia
-1≤3x≤-1+1

-1≤3x≤0 impartim prin numarul pozitiv 3
-1/3≤x≤0 inmultim cu numarul negativ -1


deci relatia este adevarata doar in intervalul [-1.3;0] pt functia constanta f(x)=-1
deci f(x):[-1/3;0]->{-1}  f(x) =-1 este functia ceruta
ai si graficul atasat

solutia este ciudata bine...cred ca ai omis ceva la text, sau autorul problemei este "original" functia constanta este un caz particular al functiei liniare

Answer 2

f(x+1/3)≤3x≤f(x)+1

Din f(x)+1≥3x ⇒ f(x)≥3x-1   (1)

In relatia f(x+1/3)≤3x punem x-> x-1/3 si obtinem:
f(x-1/3+1/3)≤3(x-1/3)
Adica f(x)≤3x-1   (2)

Din (1) si (2)⇒f(x)=3x-1