Question

determinati in cate zerouri se termina produsul primelor 57 de numere

Answer 1

Explicație pas cu pas:

Produsul 1*2*...*57 se notează 57!.

Aplicam formula lui Legendre.

In descompunerea în factori primi, un număr n este scris sub forma: n=p1^a1*p2^a2*...*pk^ak.

Numărul de zerouri alea unui factorial este dat de apariția puterilor lui 5.

Notăm A_n(5) puterea la care apare 5 in descompunerea în factori primi.

Știm că A_n(5)=[n/p]+[n/p²]+...+[n/p^k].

Vom suma părțile întreg cat timp n>p^k, unde k este o putere. Daca n<p^k, atunci partea întreaga a numărului n/p^k este 0 și nu ne influențează calculul.

In cazul nostru, n este 57.

Observăm că 5²=25<57 și 5³=125>57. Deci sunam până la 5².

A_57(5)=[57/5]+[57/25]=11+2=13.