Question

determinati intervalele de monotonie ale functiei f

Answer 1

Salutare!

            Monotonia funcției este dată de semnul derivatei și anume intervalul unde derivata este pozitivă, funcția este strict crescătoare, iar unde este negativă, funcția este strict descrescatoăre.

            Punctul unde derivata schimbă semnul iar funcția este definită se numește punct de extrem.

Ne amintim!

O funcție f : A ⇒ R se numește:

• crescătoare, dacă ∀ x,y ∈ A, x < y ⇒ f(x) ≤ f(y)
• descrescătoare, dacă ∀ x, y ∈ A, x < y ⇒ f(x) ≥ f(y)
• strict crescătoare, dacă ∀ x, y ∈ A, x < y ⇒ f(x) < f(y)
• strict descrescătoare, dacă ∀ x, y ∈ A, x < y ⇒ f(x) > f(y)
• monotonă, dacă funcția este crescătoare sau descrescătoare
• strict monotonă, dacă funcția este strict crescătoare sau strict descrescătoare

Metode pentru studiul monotoniei:

1) Metoda raportului de variație:

• f : A ⇒ R atunci R(x, y) =  , ∀ x ≠ y ∈ A

2) Se cunosc următoarele lucruri:

• Dacă R(x, y) ≥ 0, ∀ x ≠ y ∈ A ⇒ funcția este crescătoare pe A
• Dacă R(x, y) ≤ 0, ∀ x ≠ y ∈ A ⇒ funcția este descrescătoare pe A
• Dacă R(x, y) > 0, ∀ x ≠ y ∈ A ⇒ funcția este strict crescătoare pe A
• Dacă R(x, y) < 0, ∀ x ≠ y ∈ A ⇒ funcția este strict descrescătoare pe A

Observații importante:

• O funcție poate fi crescătoare pe un interval și descrescătoare pe un alt interval.

• Sunt false afirmațiile de tipul: f ≥ 0 ⇒ f este crescătoare.

- Lumberjack25