Question

Determinati intervalele de monotonie ale functiei f(x)=x/(e^x-x).

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

Intervalele de monotonie se află cu ajutorul semnului derivatei.

$f(x)=\dfrac{x}{e^x-x} ,~~f '(x)=(\dfrac{x}{e^x-x})'=\dfrac{x'(e^x-x)-x(e^x-x)'}{(e^x-x)^2}=\\=\dfrac{1*(e^x-x)-x*(e^x-1)}{(e^x-x)^2}=\dfrac{e^x-x-x*e^x+x}{(e^x-x)^2} =\dfrac{e^x(1-x)}{(e^x-x)^2}.~Deoarece~e^x~si~(e^x-x)^2~sunt ~pozitive~pentru~orice~x,~=>~f '(x)\geq 0~daca~1-x\geq 0,~deci~x\leq 1.\\f '(x)\leq 0,~daca~1-x\leq 0,~deci~x\geq 1.$Deci pentru x∈(-∞;1], funcția f este monoton crescătoare, iar pentru x∈[1;+∞), funcția f este monoton descrescătoare.

p.s.  imaginea e în caz că de pe telefon nu se vede....  Succese!