Question

Determinati masurile unghiurilor unui triunghi daca:
a) Masura unui unghi al triunghiului isoscel este egala cu media aritmetica a masurilor celorlalte doua unghiuri congruente ale triunghiului
b) Masurile unghiurilor triunghiului sunt direct proportionale cu numerele: 2, 3 si 5
c) Masurile unghiurilor triunghiului sunt invers proportionale cu numerele: 3, 4 si 6

Answer 1

a. a, b=c
ma=(b+c)/2=2b/2=b
a=b=c, a+b+c=180, 3a=180, a=60, b+60, c=60
b. a/2=b/3=c/5=(a+b+c)/(2+3+5)=180/10
a=2x180/10=36
b=3x180/10=54
c=5x180/10=90
c. a/1/3=b/1/4=c/1/6=(a+b+c)/(1/3+1/4+1/6)=180/9/12=180x12/9=240
a=240/3=80
b=240/4=60
c=240/6=40

Answer 2

a) m(∡A)=( m(∡B)+m(∡C) ) : 2
∡B≡∡C
rezultă că
m(∡A) = 2*m(∡B):2 = 2*(m∡C):2
adică
m(∡A)=m(∡B)=m(∡C)

Suma măs. unghiurulor unui triunghi = 180°
adică
m(∡A) =180°:3= 60°


b) a=m(∡A)
    b=m(∡B)
    c=m(∡C)
    a+b+c=180°

(a,b,c) d.p. (2,3,5)
⇒\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{5}=\frac{a+b+c}{2+3+5}
\frac{a+b+c}{2+3+5}=\frac{180}{10}=18°
\frac{a}{2}=18°⇒a=36°
\frac{b}{3}=18°⇒b=54°
\frac{c}{5}=18°⇒c=90°


c)a=m(∡A)
   b=m(∡B)
   c=m(∡C)
   a+b+c=180°

(a,b,c) i.p. (3,4,6)
⇒3a=4b=6c=k
3a=k ⇒ a=\frac{k}{3}
4b=k ⇒ b=\frac{k}{4}
6c=k ⇒ c=\frac{k}{6}

a+b+c=180
⇒180=\frac{k}{3}+\frac{k}{4}+\frac{k}{6}
(amplificam si obtinem)
180=\frac{4k}{12}+\frac{3k}{12}+\frac{2k}{12}
180=\frac{9k}{12}
9k=180*12
9k=2160
k=\frac{2160}{9}
k=240

a=\frac{240}{3}
a=80

b=\frac{240}{4}
b=60

c=\frac{240}{6}
c=40