Question

determinati multimea A={x este numar natural | 8 la puterea x+3 < 128 la puterea a 3}​

Answer 1

Răspuns:

$8^{x+3}=(2^3)^{x+3}=2^{3(x+3)}=2^{3x+9}\\ \\ 128^3=(2^7)^3=2^{21}\\ \\ \\ \\ 8^{x+3}<128^3 \Rightarrow 2^{3x+9}<2^{21} \Rightarrow 3x+9<21 \Rightarrow x<\frac{21-9}{3} \Rightarrow x<4\\ \\ x \in N \Rightarrow A=\{0;1;2;3\}$

Answer 2

Răspuns:

A = {0,1,2,3}

Explicație pas cu pas:

$A = \Big\{x\in \mathbb{N}\Big|\, 8^{x+3}<128^3\Big\}\\ \\ 8^{x+3}<128^3 \\ \\ 8^{x+3} < (8^{2}\cdot 2)^3 \\ \\ 8^{x+2}\cdot 8 < 8^6\cdot 8\\ \\ 8^{x+2} < 8^6$

Funcția logaritmică e strict crescătoare, înseamnă că putem logaritma inecuația.

$\log_{8}8^{x+2}<\log_{8}8^6 \\ \\ (x+2)\log_{8}8 < 6\log_{8}8 \\ \\ x+2 < 6 \\ \\ x<4 \\ \\ \Rightarrow \boxed{A = \{0,1,2,3\}}$