Question

Determinati multimea valorilor functiei f: R --> R , f(x)= x/x^2+1

Answer 1

f '( x ) = ( x² + 1 - 2x² )  /  ( x² + 1 ) ² = ( 1  - x² ) / ( x² + 1) ²
f '( x ) = 0          daca 1 - x² = 0  ⇒          x = - 1  ; x = 1 

x  -∞               - 1               1             +∞
----------------------------------------------------------------
f '              -       0      +       0       -    -
-----------------------------------------------------------------
f   0  monot,desc          cres           desc.   0  = lim f(x) 
                                                                  x-->+/-∞
                        ↓                   ↓
                   x = -1               x = 1 
           f( -1) = -1 /2               f(1) = 1 /2 
;puncte de :       min.                  max 
f( x)  = imaginea functiei  f ∈ [ - 1 /2  ,  1 /2 ]

Answer 2

[tex]x^2+1\geq2\sqrt{x^2\cdot1}=2|x|\Rightarrow\\ \frac{2|x|}{x^2+1}\leq1\\ -1\leq \frac{2x}{x^2+1}\leq 1\\ \frac{-1}{2}\leq \frac{x}{x^2+1}\leq \frac{1}{2} \Rightarrow Im(f)\subset[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]\\ Fie\ y\in [-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]\\ Se~verifica~usor ~ca~ecuatia~f(x)=y~are~solutie\Rightarrow [-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]\subset Im(f)\\ Deci ~Im(f)=[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]\\ Obs:Daca~ai~mai~facut~probleme~cu~imaginea~\\ functiei~ai~sa~intelegi,~daca~nu,~nu. [/tex]