Question

Determinati multimile :
C = { x / x apartine N si 5 / ( 3x - 1 ) } 
D = { x/ x apartine N si 4 / ( x + 2 ) }

Answer 1

ca 5|(3x-1) inseamna ca 3x-1 trebuie sa fie multiplu de 5
3x-1=5⇒3x=6 ,x=2∈N
3x-1=10⇒x=11/3∉N
3x-1=15⇒x=16/3∈N
3x-1=20⇒x=21:3=7∈N
3x-1=25⇒x=26:3∉N
3x-1=31⇒x∉N
3x-1=35⇒x=36:3=12∈N
C={2,7,12,17,22,.................n,n+5}

D
4|(x+2)
x+2=4⇒x=2
x+2=8⇒x=6
x+2=12⇒x=10
D={2,6,10,14,18................n,n+4}

Answer 2

Pentru C:
Din 5 / ( 3x - 1 ) rezulta ca 
3x - 1 = 5k, unde k apartine N, deci

x=$\frac{5k+1}{3}$=$\frac{3k+2k+1}{3}$=k+$\frac{2k+1}{3}$ numar natural, deci trebuie ca 3 / (2k+1). Asta inseamna ca :
2k+1=3p, cu p numar natural, adica

k=$\frac{3p-1}{2}$=$\frac{2p+p-1}{2}$=p+$\frac{p-1}{2}$ este numar natural, deci trebuie ca 2 / (p-1). Asta insemna ca:
p-1=2n, cu n numar natural oarecare, adica p=2n+1 care este natural (impar) pentru orice n nr nat.
Ne intoarcem "pe fir in sus" si reluam calculele, etapa cu etapa, pana ajungem la forma generala a lui x in functie de n:
-inlocuim mai intai p=2n+1 in forma lui k (in functie de p) pe care am gasit-o mai sus:
k=p+$\frac{p-1}{2}$

k=(2n+1)+$\frac{(2n+1)-1}{2}$=2n+1+n=3n+1
-inlocuim acum k, astfel gasit, in forma lui x in functie de k de si mai sus:

x=k+$\frac{2k+1}{3}$

x=(3n+1)+$\frac{2(3n+1)+1}{3}$=3n+1+2n+1=5n+2, unde n este numar natural oarecare. Deci am gasit forma generala a lui x, care ia o infinitate de valori, din 5 in 5, pornind de la 2, deci

C={2, 7, 12, 17, 22, 27, 32, 37, ....} = {5n+2 | n apartine N}

Pentru D:
D = { x/ x apartine N si 4 / ( x + 2 ) }
Rationamentul este asemanator si nu voi mai scrie toate amanuntele:
Din 4 / ( x + 2 ) rezulta ca 
x+2 = 4k, unde k apartine N, deci

x=4k-2, cu k numar natural si x are valori numere naturale pentru k>=1, iar x va lua valorile: 2, 6, 10, 14, 18, 22, etc. Deci
D={2, 6, 10, 14, 18, 22,....} = {4k-2 | k apartine N*}