Question

Determinați mulțimile valorilor numerelor reale x,y pentru care au sens expresiile:
a) A(x) = log3 (3-x)
b) B(y) = log1/2 (y-2)
c) C(x) = log2 (x^2-3x+2)
d) D(y) = log3 (log4 y)

Answer 1

Functia logartim este definita pe multimea (0, ∞), asadar, ca expresiile sa aiba sens, ce e in interiorul logaritmilor trebuie sa fie ai mare ca 0.

a)
[tex]A(x)=log_3(3-x)\\ 3-x\ \textgreater \ 0\rightarrow x\ \textless \ 3\rightarrow \boxed{x \in (-\infty,3)}[/tex]

b)
[tex]B(y)=log_{\frac{1}{2}}(y-2)\\ y-2\ \textgreater \ 0\rightarrow y\ \textgreater \ 2\rightarrow \boxed{y\in (2,\infty)}[/tex]

c)
[tex]C(x)=log_2(x^2-3x+2)\\ x^2-3x+2\ \textgreater \ 0\\ \Delta=9-8=1\\ x_1=1\\ x_2=2\\ \text{Intre radacini, functia are semnul lui a, care in cazul nostru este 1}\\ \boxed{x\in (1,2)}[/tex]

d)
Aici vor fi 2 conditii, pentru fiecare logaritm:
[tex]D(y)=log_3(log_4y)\\ 1.\ \ y\ \textgreater \ 0\rightarrow y\in (0, \infty)\\ 2.\ \ log_4y\ \textgreater \ 0\rightarrow log_4y\ \textgreater \ log_41\rightarrow y\ \textgreater \ 1\rightarrow y \in (1,\infty)\\ \text{Atunci cand baza este supraunitara, functia logaritm este crescatoare}\\\text{Altfel, semnul inecuatiei se inversa}\\\\ \text{Intersectia:}\\ y\in(0,\infty)\cap(1,\infty)=\boxed{(1,\infty)}[/tex]