Question

. Determinati n ∈ N , daca
1+2+…+ n ≤ 2009 ≤ 1+2+…+(n+1).

Answer 1

1 +2 +.. + n = (1 + n) ·n /2 
1 + 2+ .. + ( n +1) = ( 1 + n +1 ) · ( n +1)  /2 

n ·( n +1) ≤ 2009 · 2 ≤ ( n +1) · ( n +2) 

n · ( n  + 1 ) ≤ 4018  ≤ ( n +1) · ( n +2) 
n² + n - 4018 ≤ 0                                                  n² + 3n  - 4016 ≥ 0 
Δ = 1 + 4·4018 =16073                                         Δ = 9 + 4 ·4016=16073
√Δ = 126 , 77 
n₁ = ( - 1 - √Δ) /2 = negativ                                  n'₁ = ( -3 - √Δ) /2  negativ 
n₂ = ( 1 +√Δ) /2 ≈63,88                                        n'₂ = ( -3 +√Δ ) /2 = 61,88
ec. n²+n - 4018 ≤ 0                                              n² +  3n - 4016 ≥ 0
daca  :
   n ≤ 63                                                                n ≥ 62 
solutia finala  n ∈ { 62 ;  63 }