Question

Determinati n, numar natural nenul , pentru care A = 1 la puterea 2014n+2la puterea 2014n+...+2014 la puterea 2014n este multiplu de 5.

Answer 1

A=$1^{2014n}$+$2^{2014n}$+$3^{2014n}$+ ... +$2014^{2014n}$

Calculam ultima cifra a lui A.

Daca neste numar impar, adica n=2p+1, cu p nr nat, atunci:

2014=4*503+2, deci
2014n=(4*503+2)(2p+1)=4*503*2p+4*503+4p+2=M4+2 este de forma 4k+2 si calculam ultima cifra a numerelor de la 1 la 2014 ridicate la putere de forma 4k+2.

U($1^{4k+2}$)=1
U($2^{4k+2}$)=4
U($3^{4k+2}$)=9
U($4^{4k+2}$)=6
U($5^{4k+2}$)=5
U($6^{4k+2}$)=6
U($7^{4k+2}$)=9
U($8^{4k+2}$)=4
U($9^{4k+2}$)=1
U($10^{4k+2}$)=0

Cum 2014=10*201+4 inseamna ca
U(A)=U( [201(1+4+9+6+5+6+9+4+1+0)+1+4+9+6] )=
   =U(U( 201)*U(1+4+9+6+5+6+9+4+1+0)+U(1+4+9+6))=U(5+0)=5, deci A este multiplu de 5 pentru orice n nr natural nenul impar.


Daca n este nr nat par, adica n=2p, cu p nr nat nenul, atunci
2014n=2014*2p=4*1007p=M4 si calculam ultim cifra a numerelor de la 1 la 2014 ridicate la putere egala cu multiplu de 4:

U($1^{4k}$)=1
U($2^{4k}$)=6
U($3^{4k}$)=1
U($4^{4k}$)=6
U($5^{4k}$)=5
U($6^{4k}$)=6
U($7^{4k}$)=1
U($8^{4k}$)=6
U($9^{4k}$)=1
U($10^{4k}$)=0

U(A)=U( [201(1+6+1+6+5+6+1+6+1+0)+1+6+1+6] )=
   =U(U( 201)*U(1+6+1+6+5+6+1+6+1+0)+U(1+6+1+6))=U(1*3+14)=7, deci A NU este multiplu de 5, oricare ar fi n nr natural nenul par.