Determinati n, numar natural nenul , pentru care A = 1 la puterea 2014n+2la puterea 2014n+...+2014 la puterea 2014n este multiplu de 5.
Răspunsuri la întrebare
Răspuns de
2
A=
+
+
+ ... +
Calculam ultima cifra a lui A.
Daca neste numar impar, adica n=2p+1, cu p nr nat, atunci:
2014=4*503+2, deci
2014n=(4*503+2)(2p+1)=4*503*2p+4*503+4p+2=M4+2 este de forma 4k+2 si calculam ultima cifra a numerelor de la 1 la 2014 ridicate la putere de forma 4k+2.
U(
)=1
U(
)=4
U(
)=9
U(
)=6
U(
)=5
U(
)=6
U(
)=9
U(
)=4
U(
)=1
U(
)=0
Cum 2014=10*201+4 inseamna ca
U(A)=U( [201(1+4+9+6+5+6+9+4+1+0)+1+4+9+6] )=
=U(U( 201)*U(1+4+9+6+5+6+9+4+1+0)+U(1+4+9+6))=U(5+0)=5, deci A este multiplu de 5 pentru orice n nr natural nenul impar.
Daca n este nr nat par, adica n=2p, cu p nr nat nenul, atunci
2014n=2014*2p=4*1007p=M4 si calculam ultim cifra a numerelor de la 1 la 2014 ridicate la putere egala cu multiplu de 4:
U(
)=1
U(
)=6
U(
)=1
U(
)=6
U(
)=5
U(
)=6
U(
)=1
U(
)=6
U(
)=1
U(
)=0
U(A)=U( [201(1+6+1+6+5+6+1+6+1+0)+1+6+1+6] )=
=U(U( 201)*U(1+6+1+6+5+6+1+6+1+0)+U(1+6+1+6))=U(1*3+14)=7, deci A NU este multiplu de 5, oricare ar fi n nr natural nenul par.
Calculam ultima cifra a lui A.
Daca neste numar impar, adica n=2p+1, cu p nr nat, atunci:
2014=4*503+2, deci
2014n=(4*503+2)(2p+1)=4*503*2p+4*503+4p+2=M4+2 este de forma 4k+2 si calculam ultima cifra a numerelor de la 1 la 2014 ridicate la putere de forma 4k+2.
U(
U(
U(
U(
U(
U(
U(
U(
U(
U(
Cum 2014=10*201+4 inseamna ca
U(A)=U( [201(1+4+9+6+5+6+9+4+1+0)+1+4+9+6] )=
=U(U( 201)*U(1+4+9+6+5+6+9+4+1+0)+U(1+4+9+6))=U(5+0)=5, deci A este multiplu de 5 pentru orice n nr natural nenul impar.
Daca n este nr nat par, adica n=2p, cu p nr nat nenul, atunci
2014n=2014*2p=4*1007p=M4 si calculam ultim cifra a numerelor de la 1 la 2014 ridicate la putere egala cu multiplu de 4:
U(
U(
U(
U(
U(
U(
U(
U(
U(
U(
U(A)=U( [201(1+6+1+6+5+6+1+6+1+0)+1+6+1+6] )=
=U(U( 201)*U(1+6+1+6+5+6+1+6+1+0)+U(1+6+1+6))=U(1*3+14)=7, deci A NU este multiplu de 5, oricare ar fi n nr natural nenul par.
Alte întrebări interesante
Istorie,
9 ani în urmă
Matematică,
9 ani în urmă
Matematică,
9 ani în urmă
Limba română,
10 ani în urmă
Limba română,
10 ani în urmă
Limba română,
10 ani în urmă